Амплитуда гармонических колебаний 📙 - Физика
Всё сдал! - помощь студентам онлайн Всё сдал! - помощь студентам онлайн

Учебные материалы
для студентов и школьников

Амплитуда гармонических колебаний

  1. Собственные электрические колебания
  2. Идеальный электрический контур
  3. Гармонические механические колебания

Колебания имеют огромное значение в различных механических процессах. Такие процессы повторяются во времени с определенным периодом и частотой. К примеру, движения планет солнечной системы, движение машин и механизмов, стрелки часов, различные звуки имеют определенную частоту колебаний.

Если рассмотреть электромагнитные явления, то их основу так же составляют электромагнитные колебания, здесь все параметры изменяются по законам периодичности.

Данные колебания используются в разнообразных устройствах, телефонии, телеграфии, радиосвязи, в переменных токах, освещении.

Собственные колебания - это колебания, происходящие в результате действия внутренних сил в системе. Эти колебания возникают при нарушении равновесного состояния в колебательной системе.

Гармонические колебания – это такие колебания, которые можно описать с помощью закона синуса или косинуса.

Собственные электрические колебания

Если электрический процесс в контуре из конденсатора (емкостью С), сопротивления (R) и катушки индуктивности (L) является квазистационарным, то это значит, что в каждой точке контура мгновенная сила тока (I) будет одинаковой и для мгновенных значений электрических параметров будут применяться законы Кирхгофа.

В контуре такого вида изменение зарядов будет описываться дифференциальным уравнением второго порядка с обычными производными и постоянными коэффициентами. Это уравнение такого вида:

\({b^2a\over dt^2}+2a{dq\over dt}+ω_0^2q=0 (1),\)

где \(ω_0={1\over LC}\) – циклическая (круговая) частота колебаний, \(a={R\over 2L},\)

Такие же уравнения используют для описания процессов колебаний силы тока и напряжения.

Колебания, описывающиеся дифференциальными линейными уравнениями, называются линейные, а системы с такими колебаниями называются линейные колебательные системы.

banner

Не нашли то, что искали?

Попробуйте обратиться за помощью к преподавателям

это быстро и бесплатно

Идеальный электрический контур

Для полного определения задачи описания колебаний должны быть заданы два начальных условия для уравнения второго порядка. Зачастую начальные условия для уравнения задаются в таком виде:

\(q=q_0,\)  при  \(t=0;\)

\({dq\over dt}=0.\)

При сопротивлении контура, равном нулю \((R = 0)\), уравнение запишется таким образом:

\({d^2q\over dt^2}+ω_0^2q=0 (2),\)

Общее решение этого уравнения будет гармоническим колебанием:

\(q=Acos(ω_0 t+φ)(3),\)

где \(A\) – амплитуда колебаний;  \(φ\) – начальная фаза колебаний.

Если подставить начальное условие \(Acosφ=q_0\) в формулу, то она запишется как: \(Aω_0sinφ=0 (4)\)).

Из чего следует, что \(φ=0, (4)A=q_0\)

Напряжение конденсатора контура описывается таким уравнением: \(U_c={q\over c}=U_0 cosω_0t (5),\)

где амплитуда напряжения равняется начальному напряжению конденсатора  \(U_0={q_0\over c}.\)

Сила тока контура определяется уравнением \(I=-{sq\over dt}=q_0ω_0sin (ωt)=I_0sin (ω_0t) (6),\)

где \(I_0=q_0ω_0\) – амплитуда силы тока.

Если сравнить уравнения (4) и (6), то можно сделать вывод, что изменения заряда и силы тока происходят согласно гармоническим законам: заряд колеблется в соответствии с законом косинуса, а сила тока – в соответствии с законом синуса.

В тригонометрии известна зависимость \(sinω_0t=cos(ω_0t-{π\over 2})​​\), то есть разница фаз \({π\over 2}\) есть между колебанием силы тока и заряда, причем сила тока отстает по фазе.

Если графически изобразить колебания вдоль горизонтальной оси времени, при этом в качестве вертикали будет сила тока, заряд или напряжение, то кривая будет в виде синусоиды или косинусоиды. Форма этой кривой будет зависеть амплитуды колебаний физического параметра и циклической частоты \(ω_0\). Расположение будет зависеть от первоначальной фазы.

banner

Сложно разобраться самому?

Попробуйте обратиться за помощью к преподавателям

это быстро и бесплатно

Гармонические механические колебания

Уравнение координаты для гармонических колебаний материальной точки, совершающей движения вдоль оси \(X\) будет выглядеть следующим образом:

\(x=Acos(ωt⁡+δ) (7)\) (7),

где \(δ\) – начальная фаза колебаний,

\(A\) – амплитуда колебаний,

\(ω\) – циклическая частота колебаний.

Для определения скорости колебаний материальной точки вдоль оси \(X\) используют уравнение следующего вида: \(v=-ωAsin(ωt⁡+δ) (8).\).

Амплитуда ускорения материальной точки при этом будет равняться \(a_m=-ω^2A .\)

Явление затухания колебаний

Рассмотрим теперь реальный электрический контур, который имеет определенное сопротивление. Здесь колебания будут происходить по закону, который описывается уравнением (1).

При этом, если \( ω_0^2  >α^2\), то решение этого уравнения будет выглядеть так:

\(q=Ae^{-αt}cos(ωt⁡+δ) (9)\),

где \(A\) и \(φ\) – постоянные величины, которые задаются изначально,

\(ω=\sqrt{ω_0^2-α^2}\).

Соответственно это уравнение описывает гармоническое колебание с циклической частотой \(ω\) и амплитудой, которая равна: \(y=Ae^{-αt} (10)\), которая постоянно уменьшается со временем, то есть не есть постоянной, а затухает.

При этом \(α\) – это коэффициент затухания.

Не нашли нужную информацию?

Закажите подходящий материал на нашем сервисе. Разместите задание – система его автоматически разошлет в течение 59 секунд. Выберите подходящего эксперта, и он избавит вас от хлопот с учёбой.

Гарантия низких цен

Все работы выполняются без посредников, поэтому цены вас приятно удивят.

Доработки и консультации включены в стоимость

В рамках задания они бесплатны и выполняются в оговоренные сроки.

Вернем деньги за невыполненное задание

Если эксперт не справился – гарантируем 100% возврат средств.

Тех.поддержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры работают в выходные и праздники, чтобы оперативно отвечать на ваши вопросы.

Тысячи проверенных экспертов

Мы отбираем только надёжных исполнителей – профессионалов в своей области. Все они имеют высшее образование с оценками в дипломе «хорошо» и «отлично».

1 000 +
Новых заказов каждый день
computer

Гарантия возврата денег

Эксперт получил деньги, а работу не выполнил?
Только не у нас!

guarantees

Безопасная сделка

Деньги хранятся на вашем балансе во время работы над заданием и гарантийного срока

guarantees_shield

Гарантия возврата денег

В случае, если что-то пойдет не так, мы гарантируем возврат полной уплаченой суммы

Отзывы студентов о нашей работе
717 913 оценок star star star star star
среднее 4.9 из 5
ВУЗ
Обращаюсь не в первый раз, работой всегда доволен, всегда в зачет. Все выполнено профессио...
star star star star star
СПбГУТ им. Бонч-Бруевича
Благодаря Марии я стал на шажок ближе к зачету. Огромное спасибо! Всем рекомендую
star star star star star
СПбГУПТД
Берет сложные работы. Не первый раз обращаюсь. Всегда на связи. Если хотите качественную ...
star star star star star
Вы студент и хотите заказать работу, прямо сейчас без наценки и посредников?
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами

Используя «Всё сдал!», вы принимаете пользовательское соглашение
и политику обработки персональных данных
Сайт работает по московскому времени:

Вход
Регистрация или
Не нашли, что искали?

Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!

Файлы (при наличии)

    это быстро и бесплатно