Гипергеометрическое распределение

1. Свойства функций распределения
2. Использование на практике

Функции распределения являются универсальными характеристиками. Они существуют как для дискретных, так и для непрерывных величин, иными словами, все случайные величины имеют свои функции распределения.

Обозначается \(P(X<x).\)

\(F_X (x)=P(X<x),x∈R.\)

Свойства функций распределения

Рассмотрим, какими свойствами обладают все функции распределения:

• они не убывающие, то есть при \(x_1<x_2,F_X (x_1 )≤F_X (x_2 )\)
• справедливы следующие пределы: \(\lim\limits_{x \to -\infty}F_X (x)=0;\lim\limits_{x \to +\infty}F_X (x)=1\);
• в любой точке они непрерывны слева, то есть  \(F_X (x_0-0)=\lim\limits_{x →x_0-0}⁡F_X (x)= F_X (x_0 )\).

Разберем доказательства этих свойств:

1)При неравенстве \(x_1<x_2\) возникает следующее \(X<x_1\)и \(X<x_2\) иными словами

\(X<x_1⊆ X<x_2.\)

Так как вероятность является монотонной функцией события, будет справедливо следующее:
\(F_X (x_1 )=P{X<x_1 }≤P{X<x_2 }=F_X (x_2 )\), что и следовало доказать.

2) Пределы, указанные в этом свойстве, существуют из-за монотонности и ограниченности функции \(F_X (x)\). Нужно только доказать равенства:

\(\lim\limits_{x \to -\infty}F_X (x)=0;\lim\limits_{x \to +\infty}F_X (x)=1\).

Для этого определим предел какой-либо подпоследовательности {\({x_n }\)}, так как сам факт существования предела говорит о совпадении всех частичных пределов.

К примеру, попробуем доказать, что \(F_X (-n)→0\), если \(n→∞\). Разберем вложенную последовательность событий, что убывает \(B_n\)\(=\){\(X<-n\)}:

\(B_(n+1)=\){\(X<-(n+1)\)}\(⊆B_n=\){\(X<-n\)}   для любых \(n≥1\).

Не нашли то, что искали?

Попробуйте обратиться за помощью к преподавателям

Тип работы Выберите тип работыКонтрольнаяРешение задачКурсоваяРефератОнлайн-помощьТест дистанционноДипломЛабораторнаяОнлайн-репетиторЧертежОтчет по практикеЭссеОтветы на билетыПрезентацияПеревод с ин. языкаДокладСтатьяСочинениеМагистерская диссертацияКандидатская диссертацияБизнес-планПодбор литературыШпаргалкаПоиск информацииРецензияДругое

Предмет

E-mail

Узнать стоимость

это быстро и бесплатно

Пересечение \(B\) всех данных событий будет состоять только из \(ω\), для которых \(X(ω)\) будет меньше, чем любой вещественное число. При этом для любого элементарного результата \(ω\) значение \(X(ω)\) будет вещественно, и не может быть меньше всех вещественных чисел. Другими словами, пересечение событий \(B_n\) не имеет элементарных исходов. В соответствии со свойством непрерывности меры, \(F_X (-n)=P(B_n )→P(B)=0\), если \(n→∞\). Что и требовалось доказать.

3) Докажем, что \(F_X (x_0-1/n)→F_X (x_0)\), если \(n→∞\). Другими словами, докажем стремление к нулю такой разности:

\(F_X (x_0 )-F_X (x_0-1/n)=P(X<x_0 )-P(X<x_0-1/n)=P(x_0-1/n≤X<x_0),\)

что и следовало доказать.

Использование на практике

Рассмотрим примеры применения свойств функций распределения.

Пример 1. В урне лежат шары, в количестве 7 штук, из них 4 белые и 3 черные. В случайном порядке из урны достают 3 шара. Определить закон распределения дискретной случайной величины и вероятность того, что попадется более 2 белых шаров.

Решение:
Обозначим событие \(A_k\), которое заключается в том, что достанут \(k\) белых шаров.
k может принять значения 0, 1, 2, 3. Присвоим этим значениям вероятности \(p_0, p_1,p_2,p_3\).
Рассчитаем вероятности по формуле:

\(p_k={C_m^k∙C_n-m^s-k\over C_n^s }\).

Подставив значения, рассчитываем вероятности попадания белых шаров:
\(p_0=p(k=0)={(C_4^0∙C_3^3)\over(C_7^3 )}={1\over35}\);
\(p_1=p(k=1)={C_4^1∙C_3^2\over C_7^3 }={12\over35}\);
\(p_2=p(k=2)={C_4^2∙C_3^1\over C_7^3} ={18\over35}\);
\(p_3=p(k=3)={C_4^3∙C_3^0\over C_7^3 }={4\over35}\);
Таким образом, закон распределения этой случайной величины примет такой вид:

Пусть \(A\) обозначает событие, которое заключается в том, что из урны достали больше 2 белых шаров. Вероятность данного события вычисляется по формуле:

\(P(A)=\)\(∑_{k=2}^3 \)\(P( A_k)=\)\(∑_{k=2}^3 \)\({C_m^k∙C_{n-m}^{s-k}\over C_n^s }\).

В нашем случае вероятность события A будет равняться:

\(P(A)=P(A_2 )+P(A_3 )={18\over35}+{4\over35}={22\over35}\).

При заданных натуральных числах \(m,n,s\), при \(m≤ s ≤n\). При том, что вероятные значения дискретной случайной величины равняются \(0,1,2,…,m\), а вероятности рассчитываются с помощью формулы:

\(p_k= {C_m^k∙C_{n-m}^{s-k}\over C_n^s }\),

тогда случайная величина будет иметь гипергеометрический закон распределения.

В нашем примере случайная величина будет иметь гипергеометрический закон распределения при \(m=4,n=7,s=3\).

Пример 2. Имеется 50 изделий, из которых окрашены 20. Определить вероятность того, что при извлечении 5 случайных изделий, среди них будет ровно 3 окрашено.

Решение:
В соответствии с условием: \(n=50,m=20,s=5,k=3\). Определим вероятность:

\(P(x=3)={C_{20}^3∙C_{30}^2)\over C_{50}^5 }=0.234.\)

Сложно разобраться самому?

Попробуйте обратиться за помощью к преподавателям

Тип задания Выберите тип заданияКонтрольнаяРешение задачКурсоваяРефератОнлайн-помощьТест дистанционноДипломЛабораторнаяОнлайн-репетиторЧертежОтчет по практикеЭссеОтветы на билетыПрезентацияПеревод с ин. языкаДокладСтатьяСочинениеМагистерская диссертацияКандидатская диссертацияБизнес-планПодбор литературыШпаргалкаПоиск информацииРецензияДругое

Предмет

E-mail

Узнать стоимость

это быстро и бесплатно

Пример 3. В лотерее предложено 45 видов спорта. Игрок отметил в анкете 6 видов. При совпадении не менее трех видов спорта по некоторым шести числам, выпадающим в тираже, игрок выиграет. Определить вероятность возможной победы.

Решение:
Пускай событие \(A_k\), которое заключается в том, что игрок угадает \(k\) видов спорта. Подставив в формулу расчета вероятности возможные значения, получим:

\(p_k={C_6^k∙C_{45-6}^{6-k}\over C_{45}^6}.\)

Пусть A обозначает событие, которое заключается в том, что игрок победит. Вероятность данного события вычисляется по формуле:

\(P(A)=∑_{k=3}^6=P(A_k)=∑_{k=3}^6 {C_6^k∙C_{45-6}^{6-k}\over C_{45}^6} \)

Тогда закон распределения этой случайной величины примет такой вид:

В данном примере вероятность события \(A\) будет равняться:

\(P(A)=P(A_3 )+P(A_4 )+P(A_5 )+P(A_6 )=0,017650+0,000696+0,000018+0,000000=0,018638\).