Всё сдал! - помощь студентам онлайн Всё сдал! - помощь студентам онлайн

Учебные материалы
для студентов и школьников

Гипергеометрическое распределение

1. Свойства функций распределения
2. Использование на практике

Функции распределения являются универсальными характеристиками. Они существуют как для дискретных, так и для непрерывных величин, иными словами, все случайные величины имеют свои функции распределения.

Обозначается \(P(X<x).\)

\(F_X (x)=P(X<x),x∈R.\)

Свойства функций распределения

Рассмотрим, какими свойствами обладают все функции распределения:

  • они не убывающие, то есть при \(x_1<x_2,F_X (x_1 )≤F_X (x_2 )\)
  • справедливы следующие пределы: \(\lim\limits_{x \to -\infty}F_X (x)=0;\lim\limits_{x \to +\infty}F_X (x)=1\);
  • в любой точке они непрерывны слева, то есть  \(F_X (x_0-0)=\lim\limits_{x →x_0-0}⁡F_X (x)= F_X (x_0 )\).

Разберем доказательства этих свойств:

1)При неравенстве \(x_1<x_2\) возникает следующее \(X<x_1\)и \(X<x_2\) иными словами

\(X<x_1⊆ X<x_2.\)

Так как вероятность является монотонной функцией события, будет справедливо следующее:
\(F_X (x_1 )=P{X<x_1 }≤P{X<x_2 }=F_X (x_2 )\), что и следовало доказать.

2) Пределы, указанные в этом свойстве, существуют из-за монотонности и ограниченности функции \(F_X (x)\). Нужно только доказать равенства:

\(\lim\limits_{x \to -\infty}F_X (x)=0;\lim\limits_{x \to +\infty}F_X (x)=1\).

Для этого определим предел какой-либо подпоследовательности {\({x_n }\)}, так как сам факт существования предела говорит о совпадении всех частичных пределов.

К примеру, попробуем доказать, что \(F_X (-n)→0\), если \(n→∞\). Разберем вложенную последовательность событий, что убывает \(B_n\)\(=\){\(X<-n\)}:

\(B_(n+1)=\){\(X<-(n+1)\)}\(⊆B_n=\){\(X<-n\)}   для любых \(n≥1\).

banner

Не нашли что искали?

Просто напиши и мы поможем

Пересечение \(B\) всех данных событий будет состоять только из \(ω\), для которых \(X(ω)\) будет меньше, чем любой вещественное число. При этом для любого элементарного результата \(ω\) значение \(X(ω)\) будет вещественно, и не может быть меньше всех вещественных чисел. Другими словами, пересечение событий \(B_n\) не имеет элементарных исходов. В соответствии со свойством непрерывности меры, \(F_X (-n)=P(B_n )→P(B)=0\), если \(n→∞\). Что и требовалось доказать.

3) Докажем, что \(F_X (x_0-1/n)→F_X (x_0)\), если \(n→∞\). Другими словами, докажем стремление к нулю такой разности:

\(F_X (x_0 )-F_X (x_0-1/n)=P(X<x_0 )-P(X<x_0-1/n)=P(x_0-1/n≤X<x_0),\)

что и следовало доказать.

Использование на практике

Рассмотрим примеры применения свойств функций распределения.

Пример 1. В урне лежат шары, в количестве 7 штук, из них 4 белые и 3 черные. В случайном порядке из урны достают 3 шара. Определить закон распределения дискретной случайной величины и вероятность того, что попадется более 2 белых шаров.

Решение:
Обозначим событие \(A_k\), которое заключается в том, что достанут \(k\) белых шаров.
k может принять значения 0, 1, 2, 3. Присвоим этим значениям вероятности \(p_0, p_1,p_2,p_3\).
Рассчитаем вероятности по формуле:

\(p_k={C_m^k∙C_n-m^s-k\over C_n^s }\).

Подставив значения, рассчитываем вероятности попадания белых шаров:
\(p_0=p(k=0)={(C_4^0∙C_3^3)\over(C_7^3 )}={1\over35}\);
\(p_1=p(k=1)={C_4^1∙C_3^2\over C_7^3 }={12\over35}\);
\(p_2=p(k=2)={C_4^2∙C_3^1\over C_7^3} ={18\over35}\);
\(p_3=p(k=3)={C_4^3∙C_3^0\over C_7^3 }={4\over35}\);
Таким образом, закон распределения этой случайной величины примет такой вид:

\(x_i\) 0 1 2 3
\(p_i\) \({1\over35}\) \({12\over35}\) \({18\over35}\) \({4\over35}\)

Пусть \(A\) обозначает событие, которое заключается в том, что из урны достали больше 2 белых шаров. Вероятность данного события вычисляется по формуле:

\(P(A)=\)\(∑_{k=2}^3 \)\(P( A_k)=\)\(∑_{k=2}^3 \)\({C_m^k∙C_{n-m}^{s-k}\over C_n^s }\).

В нашем случае вероятность события A будет равняться:

\(P(A)=P(A_2 )+P(A_3 )={18\over35}+{4\over35}={22\over35}\).

При заданных натуральных числах \(m,n,s\), при \(m≤ s ≤n\). При том, что вероятные значения дискретной случайной величины равняются \(0,1,2,…,m\), а вероятности рассчитываются с помощью формулы:

\(p_k= {C_m^k∙C_{n-m}^{s-k}\over C_n^s }\),

тогда случайная величина будет иметь гипергеометрический закон распределения.

В нашем примере случайная величина будет иметь гипергеометрический закон распределения при \(m=4,n=7,s=3\).

Пример 2. Имеется 50 изделий, из которых окрашены 20. Определить вероятность того, что при извлечении 5 случайных изделий, среди них будет ровно 3 окрашено.

Решение:
В соответствии с условием: \(n=50,m=20,s=5,k=3\). Определим вероятность:

\(P(x=3)={C_{20}^3∙C_{30}^2)\over C_{50}^5 }=0.234.\)

Сложно разобраться самому?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

banner

Пример 3. В лотерее предложено 45 видов спорта. Игрок отметил в анкете 6 видов. При совпадении не менее трех видов спорта по некоторым шести числам, выпадающим в тираже, игрок выиграет. Определить вероятность возможной победы.

Решение:
Пускай событие \(A_k\), которое заключается в том, что игрок угадает \(k\) видов спорта. Подставив в формулу расчета вероятности возможные значения, получим:

\(p_k={C_6^k∙C_{45-6}^{6-k}\over C_{45}^6}.\)

Пусть A обозначает событие, которое заключается в том, что игрок победит. Вероятность данного события вычисляется по формуле:

\(P(A)=∑_{k=3}^6=P(A_k)=∑_{k=3}^6 {C_6^k∙C_{45-6}^{6-k}\over C_{45}^6} \)

Тогда закон распределения этой случайной величины примет такой вид:

\(x_i\) 0 1 2 3 4 5 6
\(p_i\) 0,435965 0,413019 0,132378 0,017650 0,000969 0,000018 0,000000

В данном примере вероятность события \(A\) будет равняться:

\(P(A)=P(A_3 )+P(A_4 )+P(A_5 )+P(A_6 )=0,017650+0,000696+0,000018+0,000000=0,018638\).

Не нашли нужную информацию?

Закажите подходящий материал на нашем сервисе. Разместите задание – система его автоматически разошлет в течение 59 секунд. Выберите подходящего эксперта, и он избавит вас от хлопот с учёбой.

Гарантия низких цен

Все работы выполняются без посредников, поэтому цены вас приятно удивят.

Доработки и консультации включены в стоимость

В рамках задания они бесплатны и выполняются в оговоренные сроки.

Вернем деньги за невыполненное задание

Если эксперт не справился – гарантируем 100% возврат средств.

Тех.поддержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры работают в выходные и праздники, чтобы оперативно отвечать на ваши вопросы.

Тысячи проверенных экспертов

Мы отбираем только надёжных исполнителей – профессионалов в своей области. Все они имеют высшее образование с оценками в дипломе «хорошо» и «отлично».

1 000 +
Новых заказов каждый день
computer

Гарантия возврата денег

Эксперт получил деньги, а работу не выполнил?
Только не у нас!

guarantees

Безопасная сделка

Деньги хранятся на вашем балансе во время работы над заданием и гарантийного срока

guarantees_shield

Гарантия возврата денег

В случае, если что-то пойдет не так, мы гарантируем возврат полной уплаченой суммы

Отзывы студентов о нашей работе

315 972 оценки star star star star star
среднее 4.9 из 5
РУДН
Работа выполнена гораздо раньше заявленного срока и по доступной цене. Я довольна
star star star star star
Томский политехнический университет
Работа по маркетингу выполнена на отлично и точно в сроки., а главное недорого. Советую. О...
star star star star star
ИвГУ
Работать с таким автором очень приятно!!! Только положительные эмоции!!!
star star star star star
Вы студент и хотите заказать работу, прямо сейчас без наценки и посредников?
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами


Сайт работает по московскому времени:

Вход или
регистрация
Регистрация или
Не нашли, что искали?

Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!

Файлы (при наличии)

    это быстро и бесплатно