Примеры задач по теории вероятности

1. Теоретическая часть
   • Классическая формулировка вероятности
   • Соединение несовместных случаев
   • Противоположные случаи
   • Пересечение независимых случаев
   • Уравнение сложения вероятностей
2. Примеры задач по определению событий вероятностей
3. Задание 1.
4. Задание 2.
5. Задание 3.
6. Задание 4.
7. Задание 5.
8. Задание 6.
9. Задание 7.
10. Задание 8.
11. Задание 9.
12. Задание 10.
13. Задание 11.
14. Задание 12.

Ниже располагается большой перечень заданий по теории вероятности из различных подразделов, изучаемых не только в высших учебных заведениях, но и в школах. Данные задачи представлены совместно с детальными решениями, как типовых заданий, так и нестандартных.

Теоретическая часть

Классическая формулировка вероятности

Общепринятой формулировкой является следующая редакция: вероятностью случая X именуют отношение количества удачных данному случаю событий, к числу всевозможных результатов: \(P(X) = I / K,\) где \(I\) – является количеством удачных результатов, \(K\) – общее число всевозможных результатов случаев \(X.\)

Соединение несовместных случаев

Когда случаи считаются несовместными либо непересекающимися, тогда вероятность соединения двух случаев приравнивается сумме вероятностей. Это закон суммирования вероятностей.

Противоположные случаи

Случаи, которые противоположны случаю A, отмечают Ā. При осуществлении экспериментов постоянно выполняется один из двух противоположных случаев. Например, учащийся может сдать зачет либо не сдать, утро и вечер.

Пересечение независимых случаев

Случаи \(X\) и \(Y\) именуют независимыми, когда их вероятность не находится в зависимости от возникновения либо не возникновения иного случая. Случай \(Q\) именуют пересечением случаев \(X\) и \(Y\) когда случай \(Q\) обозначает, что осуществились оба случая \(X\) и \(Y\). Обозначается следующим образом: \(Q = X ∩ Y.\) В ситуации, когда случаи \(X\) и \(Y\) являются независимыми, тогда вероятность их пересечения приравнивается произведению вероятностей случаев \(X\) и \(Y\). Найти вероятность возможно с помощью уравнения:

\(P(X∩Y) = P(X) • P(Y)\)

Уравнение сложения вероятностей

Вероятность возникновения хотя бы одного из двух совместных случаев приравнивается сумме вероятностей данных случаев без возможности их совместного возникновения.

\(Р(XUY) = Р(X) + Р(Y) – Р(X∩Y).\)

Примеры задач по определению событий вероятностей

Рассмотрим некоторое количество примеров, которые покажут, как можно найти вероятность определенных событий.

Задание 1.

На фабрике по производству батареек, из 100 произведенных батареек, 1 батарейка бракованная. Специалист фабрики осуществляет проверку одной отобранной батарейки из 100. Решить задание и найти вероятность, когда случайно тестируемая батарейка будет бракованной.

Решение задачи. Во время отбора батарейки, вероятными являются 100 событий, случаю X (отобранная батарейка является бракованной) удачным будет лишь одно событие. Тогда искомая вероятность бракованной батарейки будет равна: \(P(X) = 1 / 100 = 0,01.\)

Ответ в задаче: 0,01.

Задание 2.

На уроке физкультуры, учитель подает команды: \(Q\) – бежать, \(X\) – прыгать, \(Y\) – отдыхать. Найти вероятность каждой команды, если в течение урока необходимо бежать 4 раза, прыгать 6 раз и отдыхать 10 раз?

Решение задачи. Вероятность отдачи каждой команды является отношением подачи определенной команды к всеобщему числу отданных команд. Всего было отдано команд в течение урока 20.

Ответ в задаче:

Вероятность отдачи команды «бежать»: \(P(Q) = 4 / 20 = 0,2.\)

Вероятность отдачи команды «прыгать»: \(P(X) = 6 / 20 = 0,3.\)

Вероятность отдачи команды «бежать»: \(P(Y) = 10 / 20 = 0,5.\)

Сложно разобраться самому?

Попробуйте обратиться за помощью к преподавателям

Тип задания Выберите тип заданияКонтрольнаяРешение задачКурсоваяРефератОнлайн-помощьТест дистанционноДипломЛабораторнаяОнлайн-репетиторЧертежОтчет по практикеЭссеОтветы на билетыПрезентацияПеревод с ин. языкаДокладСтатьяСочинениеМагистерская диссертацияКандидатская диссертацияБизнес-планПодбор литературыШпаргалкаПоиск информацииРецензияДругое

Предмет

E-mail

Узнать стоимость

это быстро и бесплатно

Задание 3.

Группа ребят: Ваня, Степа, Саша, Дима, Коля, Иннокентий, Маша, Аня, Света, Вита собрались поиграть в игру. Чтобы начать игру, необходимо кинуть жребий, кто будет начинать. После того как случайным образом, жребий был брошен, игру начала девочка. Решить задание и найти вероятность, что игра стартует по команде девочки.

Решение задачи. Вероятность события, что игру начнет девочка приравнивается отношению числа девочек к общему числу игроков. Удачным событием считается 4 события, поскольку девочек 4. А число участников 10. По данной причине, вероятность того, что игру начнет девочка равна \(P(Q) = 4 / 10 = 0,4.\)

Ответ в задаче: девочка начнет игру с вероятностью 0,4.

Задание 4.

В чемпионате по биатлону принимают участие 33 спортсмена из РФ, 26 участников из США, 19 спортсменов из Китая, 12 участников из Германии и 10 из Канады. Последовательность старта участников в чемпионате устанавливается случайным образом, жребием. После проведения жребия, первым вышел на старт чемпионата спортсмен из Германии. Найти вероятность того, что первым на старт чемпионата случайным образом выйдет не немецкий спортсмен.

Решение задачи. Всего участников соревнований \(33+26+19+12+10=100\) спортсменов. По данной причине, вероятность того, что первым на старт выйдет не немецкий спортсмен равно \(90 / 100 = 0,9\)Вероятность считается равной 0,9.

Ответ в задаче: 0,9.

Задание 5.

В первенство по гандболу принимают участие 25 команд. Случайный выбор, благодаря жребию, осуществляется разделение команд на пять групп, по пять участников в каждой группе. Осуществляется перемешивание карточек с названиями групп: A, B, C, D, E по 5 карточек. Представители команд вытягивают карточку, и объявляют группу, в которой их команда участвует в первенстве. Решить задание и найти вероятность, что команда Франции попадет в группу A.

Решение задачи: Число удачных событий является равным 5, поскольку карточек с группой A пять. Всего 25 команд, значит 25 всевозможных вариантов. Искомая вероятность случайного попадания команды Франции в группу A рассчитывается следующим образом: \(P(A) = 5 / 25 = 0,2.\)

Ответ в задаче: 0,2.

Задание 6.

На экзамене по литературе школьнику могут случайно достаться сказки Пушкина. Вероятность, что сказки случайно выберет школьник на экзамене, равна 0,05. Вероятность, что на экзамене школьнику достанется стих Пушкина о Родине, равна 0,55. В билетах нет ни одного произведения Пушкина, которые бы относились и к сказкам, и к стихам о Родине одновременно. Решить задание и найти вероятность, что ученик вытащит билет на экзамене то ли со сказкой, то ли со стихом о Родине.

Решение задачи: Определение вероятности несовместных событий вычисляется суммой вероятностей данный случаев: \(P = 0,05 + 0,55 = 0,6.\) Вероятность считается равной 0,6.

Ответ в задаче: 0,6.

Не нашли то, что искали?

Попробуйте обратиться за помощью к преподавателям

Тип работы Выберите тип работыКонтрольнаяРешение задачКурсоваяРефератОнлайн-помощьТест дистанционноДипломЛабораторнаяОнлайн-репетиторЧертежОтчет по практикеЭссеОтветы на билетыПрезентацияПеревод с ин. языкаДокладСтатьяСочинениеМагистерская диссертацияКандидатская диссертацияБизнес-планПодбор литературыШпаргалкаПоиск информацииРецензияДругое

Предмет

E-mail

Узнать стоимость

это быстро и бесплатно

Задание 7.

Для поступления в ВУЗ на факультет «Социологии», абитуриент обязан на ЕГЭ заработать более 80 баллов по трем дисциплинам: математика, русский язык и обществоведение. Для поступления на факультет «Прикладная математика», требуется на ЕГЭ заработать более 80 баллов по трем дисциплинам: математика, русский язык и физика. Вероятность, что абитуриент заработает на ЕГЭ более 80 баллов по математике, равна 0,7, по русскому языку - 0,9, по обществоведение - 0,8 и по физике - 0,6.

Решить задание и найти вероятность, что абитуриент заработает на ЕГЭ 80 баллов хотя бы на один из этих факультетов.

Решение задачи: По причине того, что события являются независимыми, определение вероятности успеха сдачи на «Социологию» равно \(0,7*0,9*0,8 = 0,504.\) Определение вероятности успеха сдачи на «Прикладную математику» равно \(0,7*0,9*0,6 = 0,378.\) Определение вероятности успеха сдачи и на «Социологию», и на «Прикладную математику» равно \(0,7*0,9*0,8*0,6 = 0,3024.\)

Удачная сдача экзаменов на «Социологию» и на «Прикладную математику» являются событиями совместимыми. По данной причине, вероятность их суммы равна сумме вероятностей данных событий, пониженной на вероятность их произведения. Следовательно, поступление на один из факультетов у абитуриента возможно с вероятностью: \(0,504 + 0,378 – 0,3024 = 0,5796.\)

Ответ в задаче: 0,5796.

Задание 8.

Найти вероятность, что случайно выбранное натуральное число от 20 до 39 возможно разделить на 5.

Решение задачи: Всего возможных вариантов выбора 20. И лишь 4 числа делятся на 4. Поэтому решить задание можно таким образом: \(4 / 20 = 0,2.\) Вероятность считается равной 0,2.

Ответ в задании: 0,2.

Задание 9.

В группе 21 студент, в которой две подруги: Ира и Лана. Студентов решили случайным образом разбить на 3 одинаковые группы. Решить задание и найти вероятность, что девочки попадут вместе в группу.

Решение задачи: Если Ира первая займет место в какой-то группе, тогда Лане останется 20 мест во всех группах. В этой же группе, где Ира останется 6 мест. Вероятность, что Лана случайно попадет в группу с Ирой составляет 6/20.

Ответ в задании: Вероятность случайного попадания подруг в одну группу составляет 0,3.

Задание 10.

В первенстве по шашкам принимают участие 28 человек, включая Сашу и Петю. Участников разбивают на 4 равные группы. Найти вероятность, что ребята попадут в различные группы.

Решение задания: Если Саша первый случайно выберет одну из групп, тогда останется 27 мест, из них 21 место в иной группе. Результатом будет считаться выбор группы Петей. Удачных итогов 21. \(P = 21/27 = 0.7778/\)

Ответ в задании: Вероятность попадания друзей в разные группы 0,7778.

Задание 11.

На калькуляторе 10 кнопок с цифрами. Найти вероятность, что, случайно выбирая цифру, будет выбрана цифра равная 7.

Ответ в задании: 1 / 10 = 0,1.

Задание 12.

Среди чисел в промежутке от 44 до 56 случайно выбирают одно число. Найти вероятность, что данное число не делится на 4.

Решение задания:

Всего здесь 13 чисел. Из 13 чисел на 4 можно разделить 44, 48, 52, 56 – 4 числа. Нельзя разделить 9 чисел. Вероятность считается равной: \(P = 9 / 13 = 0.6923\)

Ответ в задании: 0,6923.