Всё сдал! - помощь студентам онлайн Всё сдал! - помощь студентам онлайн

Учебные материалы
для студентов и школьников

Возрастание и убывание функции

1. Общие понятия о поведении функций
2. Свойства монотонных функций
3. Алгоритм определения поведения функции
4. Примеры решения задач на исследование поведения функции

Общие понятия о поведении функций

Исследуя функции, заданные определенными уравнениями, особенно уделяют внимание их свойствам, а именно возрастанию или убыванию.

Монотонной функцией называется функция, меняющаяся в одном направлении.
На графиках представлены примеры монотонно возрастающей и монотонно убывающей функций.

Соответственно, монотонная функция может быть возрастающая или убывающая.

Возрастающей называется такая функция, у которой при увеличении значения аргумента, значение функции увеличивается, иными словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.

Математическое выражение этого определения выглядит следующим образом:

\(f(x)=↑x_1 f(x_2)\).

Убывающей называется такая функция, у которой при увеличении значения аргумента, значение функции уменьшается, иными словами, чем больше значение аргумента, тем меньшее значение функции.

Математическое выражение этого определения выглядит следующим образом:

\(f(x)=↓x_1 f(x_2)\).

Разберем примеры решения задач на изучение характера поведения функции.

Задача 1. Задана функция \(y=x^3+1\). Исследовать ее характер в интервале \([0;2]\).
Решение: Подставим поочередно крайние значения заданного отрезка и сравним полученные значения функции.
\(y_1=0^3+1=1\);
\(y_2=2^3+1=9\).

Поскольку значения функции увеличиваются, при увеличении значений аргумента, то данная функция на заданном отрезке будет возрастать.

Задача 2. Задана функция \(y={1\over x}\). Определить ее характер в интервале \([1;2]\).
Решение: Подставим поочередно крайние значения заданного отрезка и сравним полученные значения функции.
\(y_1={1\over 1}=1\);
\(y_2={1\over2}=0.5\).

Поскольку значения функции уменьшаются, при увеличении значений аргумента, то данная функция на данном отрезке будет убывать.

Не возрастающей называется такая функция, у которой при увеличении значения аргумента, значение функции увеличивается или остается на том же уровне, иными словами, большему значению аргумента соответствует большее или равное значение функции.

banner

Не нашли что искали?

Просто напиши и мы поможем

Не убывающей называется такая функция, у которой при увеличении значения аргумента, значение функции уменьшается или остается на том же уровне, иными словами, большему значению аргумента соответствует меньшее или равное значение функции.

Постоянной называется такая функция, которая не убывает и не возрастает, то есть при увеличении или при уменьшении значения аргумента, значение функции остается на одном и том же уровне. Пример такой функции можно наблюдать на рисунке.

Разберем задачу на исследование характера поведения функции. При данной функции \(y=5\) исследовать ее характер в интервале \([0;2]\).

По сути эту функцию можно записать как \(y=5+0∙x\), подставляя крайние значения отрезка, получим:
\(y_1=5+0∙0=5\);
\(y_2=5+0∙2=5\).

То есть функция \(y=5\) будет постоянной.

Постоянная, не убывающая и не возрастающая функции не есть монотонные.

Свойства монотонных функций

К свойствам монотонных функций относятся такие характеристики:

  • если две или больше возрастающих функций суммируются, то в результате получается тоже возрастающая функция;
  • результатом произведения положительных возрастающих функций будет возрастающая функция;
  • при композиции двух возрастающих функций получается также функция, которая будет возрастать;
  • при положительной функции \(f(x)\), функция \(f^n (x)\) тоже будет возрастать, при условии, что \(n\) является натуральным числом;
  • при сохранении возрастающей функцией \(f(x)\) своего знака, обратная ей функция будет убывать;
  • при возрастающей функции \(f(x)\) и константе c справедливо, что функции \(cf(x)\) и \(f(x)+c\), при \(c>0\), будут возрастать.

Монотонность производной и заданной функций связаны между собой, и это описано в таких теоремах:

Теорема 1
При положительной производной заданной функции f^' (x) в определенном интервале, эта функция будет возрастать в данном интервале. Существуют также обратные теоремы. Рассмотрим их определения:

 

Теорема 2
При отрицательной производной заданной функции f^' (x) в определенном интервале, эта функция будет убывать в данном интервале.

 

Теорема 3
При заданной возрастающей функции на определенном промежутке, ее производная функция будет неотрицательна или не будет существовать в данном интервале.

 

Теорема 4
При заданной убывающей функции на определенном промежутке, ее производная функция будет неположительная или не будет существовать в данном интервале.
Для постоянной функции справедлива такая теорема:

 

Теорема 5
Если производная заданной функции f^' (x) будет равняться нулю для всех точек заданного интервала, то заданная функция будет постоянной в этом интервале.

Алгоритм определения поведения функции

Алгоритм изучения функции на предмет возрастания или убывания выглядит следующим образом:

  • для заданной функции находят производную;
  • определяют стационарные или критические точки производной функции (f^' (x)=0 или вовсе не существует);
  • рассчитывают знак производной функции в каждом из интервалов;
  • определяют поведение функции в каждом из интервалов.

Примеры решения задач на исследование поведения функции

Пример 1. Дана функция следующего вида: \(y=x^3-12x\). Определить ее характер поведения в интервале \((-∞;+∞)\).
Решение:
1. Рассчитываем производную заданной функции:
\(y'=(x^3-12x)'=3x^2-12.\)

2.Производная определяется на всем промежутке:
\(y'=0 ⇒ 3x^2-12=0 ⇒3x^2=12 ⇒x^2=4 ⇒ x=±2,\)
\(x=±2\) являются стационарными точками.

3. Изучаем знак производной функции при помощи числовой прямой:

 

\(y' (0)=3∙0^2-12=-12\);
\(y' (-3)=3∙(-3)^2-12=15\);
\(y' (3)=3∙3^2-12=15\).

То есть производная положительна в интервалах \( (-∞;-2]\) и \([2;+∞)\), и отрицательна в интервале\( [-2;2]\).
4. Определяем характер поведения функции:

Согласно выше рассмотренных теорем, заданная функция будет убывать в интервале \([-2;2]\), и возрастать в интервалах \(- (-∞;-2]\) и \([2;+∞)\).

Сложно разобраться самому?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

banner

Пример 2. Дана функция следующего вида: \(y={x\over(x-2)}\). Определить ее характер поведения в интервале(-∞;+∞).
Решение:
1. Находим производную функции:
\(y'=({x\over x-2})'={1∙(x-2)-x∙1\over(x-2)^2} ={x-2-x\over x-2^2} =-{2\over(x-2)^2}\) .

2. При \(x=2\) производная функция будет неопределенной. Стационарные точки не обнаружены.

3.Изучаем знак производной при помощи числовой прямой:

\(y' (0)=\)\(-{2\over(0-2)^2} =\)\(-{2\over(-2)^2} =\)\(-{2\over(0-2)^2}\) =\(-{2\over4}=-0,5\);
\(y' (4)=-{2\over(4-2)^2} =\)\(-{2\over(2)^2} =-{2\over4}=-0,5\).
То есть производная функция отрицательна на определяемых участках.

4.Определяем характер поведения функции.

Согласно теореме 2, при отрицательной производной, заданная функция убывает. То есть на всем определяемом промежутке заданная функция будет убывающей.

Не нашли нужную информацию?

Закажите подходящий материал на нашем сервисе. Разместите задание – система его автоматически разошлет в течение 59 секунд. Выберите подходящего эксперта, и он избавит вас от хлопот с учёбой.

Гарантия низких цен

Все работы выполняются без посредников, поэтому цены вас приятно удивят.

Доработки и консультации включены в стоимость

В рамках задания они бесплатны и выполняются в оговоренные сроки.

Вернем деньги за невыполненное задание

Если эксперт не справился – гарантируем 100% возврат средств.

Тех.поддержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры работают в выходные и праздники, чтобы оперативно отвечать на ваши вопросы.

Тысячи проверенных экспертов

Мы отбираем только надёжных исполнителей – профессионалов в своей области. Все они имеют высшее образование с оценками в дипломе «хорошо» и «отлично».

1 000 +
Новых заказов каждый день
computer

Гарантия возврата денег

Эксперт получил деньги, а работу не выполнил?
Только не у нас!

guarantees

Безопасная сделка

Деньги хранятся на вашем балансе во время работы над заданием и гарантийного срока

guarantees_shield

Гарантия возврата денег

В случае, если что-то пойдет не так, мы гарантируем возврат полной уплаченой суммы

Отзывы студентов о нашей работе

315 972 оценки star star star star star
среднее 4.9 из 5
Академия дополнительного профессионального образования АДОП
Советую замечательный исполнитель, постоянно на связи отвечает на все интересующие вопросы...
star star star star star
Уральский государственный экономический университет
Советую данного автора! Всё сделано в срок и замечательно. Было одно маленькое замечания, ...
star star star star star
БФ БГУЭП
Советую всем данного исполнителя. Работа выполнена в срок и без замечаний
star star star star star
Вы студент и хотите заказать работу, прямо сейчас без наценки и посредников?
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами


Сайт работает по московскому времени:

Вход или
регистрация
Регистрация или
Не нашли, что искали?

Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!

Файлы (при наличии)

    это быстро и бесплатно