Всё сдал! - помощь студентам онлайн Всё сдал! - помощь студентам онлайн

Учебные материалы
для студентов и школьников

Логарифмы и их свойства

1. Общие понятия
2. Свойства логарифмов
3. Понятие о модуле перехода от логарифма к логарифму
4. Задачи с применением логарифмических свойств

Общие понятия

Логарифм числа \(b∈R\) по основанию \(a (a>0,a≠1)\) – это такое число \(c\), в которое нужно возвести число a, чтобы получить число \(b\). Обозначается таким образом: \(log_a⁡b\).

В соответствии с определением напрашивается вывод, что для числа\( b≤0\) не существует действительного логарифма. Сформулируем теорему о действительном логарифме:

Теорема
Каждому действительному числу b>0 соответствует один единственный логарифм по основанию \(a (a>0,a≠1)\).
Логарифм числа \(b∈R\) с основанием \(a=10\) называют десятичным логарифмом. Обозначается \(log_10⁡b=lgb\)

Логарифм числа \(b∈R\) с основанием \(a=e\) называют натуральным логарифмом. Обозначается \(log_e⁡b=lnb\).

Свойства логарифмов

Рассмотрим свойства логарифмов, первые два из них вытекают из определения:

1. \(a^{log_a⁡b} =b\);

2. \(log_a⁡a^c=c\).

3. Логарифм произведения будет равняться сумме логарифмов множителей:
\(log_a⁡xy=log_a⁡x+log_a⁡y\).
Докажем это свойство: воспользовавшись первым свойством логарифма и свойством суммы степеней, получаем:
\(a^{log_a⁡xy} =xy; a^{log_a⁡x+log_a⁡y }=a^{log_a⁡x} ∙a^{og_a⁡y} =xy.\) Из этого следует, что:
\(a^{log_a⁡xy} =a^{log_a⁡x+log_a⁡y}, log_{a⁡xy}=log_{a⁡x+log_a⁡y}\).

4. \(log_a⁡b^c=c  log_a⁡b.\)
Докажем это свойство:
\(log_a⁡b^c= log_a⁡b∙b∙…∙b\), где \(b\) повторяется c раз, в соответствии с определением степени. А из третьего свойства мы получаем:
\(log_a⁡b^c=log_a⁡b+log_a⁡b+…+log_a⁡b \) (\(с\) раз) \(c log_a⁡b\)

5.\(log_a⁡{1\over b}=- log_a⁡b\).
Докажем это свойство:
\(log_a⁡{1\over b}=  log_a⁡b^{-1}\), используя четвертое свойство, получаем:
\(log_a⁡{1\over b}=  log_a⁡b^{-1}=\)\(-log_a⁡b\).

6. Логарифм частного двух чисел будет равняться разнице логарифмов этих чисел:
\(log_a⁡{x\over y}=log_a⁡x-log_a⁡y \).
Докажем это свойство: воспользовавшись третьим и пятым свойствами логарифмов, имеем:
\(log_a⁡{x\over y}=log_a⁡x+log_a⁡{1\over y}= log_a⁡x-log_a⁡y \).

banner

Не нашли что искали?

Просто напиши и мы поможем

7.Одним из свойств логарифма является его свойство перехода к другому основанию:
\(log_b⁡c={log_a⁡c\over log_a⁡b }\).
Докажем это свойство: воспользовавшись первым и вторым свойствами логарифмов, имеем:
\(log_a⁡c=log_a⁡b^{log_b⁡c}  =log_b⁡c∙log_a⁡b\);
\(log_b⁡c={log_a⁡c\over log_a⁡b}\) .
    
8. \(log_a⁡b={1\over log_b⁡a }\).
Докажем это свойство, воспользовавшись седьмым логарифмическим свойством:
\(log_a⁡b={log_b⁡b\over log_b⁡a} ={1\over log_b⁡a}\) .

9. \(log_a {^n} ⁡b={1\over n}  log_a⁡b \).
Докажем это свойство, воспользовавшись седьмым и вторым логарифмическими свойствами:
\(log_a{^n}⁡b={log_a⁡b\over log_a⁡a^n} ={1\over n}  log_a⁡b \).

Понятие о модуле перехода от логарифма к логарифму

Если рассмотреть формулу \(log_b⁡c={log_a⁡c\over log_a⁡b}\) , то в ней \(M={1\over log_a⁡b}\)  – это модуль перехода от логарифма с основанием a к логарифму с основанием b. Иным образом формула примет вид:

\(log_b⁡c=M log_a⁡c\).

Рассмотрим частные случаи этой формулы:

  1. В формуле \(lgx=Mlnx\), число \(M={1\over ln10}=lge≈0,(43)\) – это число, которое является модулем перехода от натурального к десятичному логарифму.
  2. В формуле \(lnx=Mlgx, M={1\over lge}=ln10≈2,3026\)… - это число, которое является модулем перехода от десятичного к натуральному логарифму.

Задачи с применением логарифмических свойств

Рассмотрим три примера решения логарифмических задач:

Задача 1. Найти значение числа, записанного в форме логарифма \(5∙0,6^{log_{0,6}⁡12}\) .

Решение:
оспользовавшись первым логарифмическим свойством, получим:
\(5∙0,6^{log_{0,6}⁡12}\)\( =5∙12=60\).

Сложно разобраться самому?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

banner

Задача 2. Найти значение числа, записанного в форме логарифма 
\(log_3⁡15-  log_3⁡5+3^{{log_3}⁡5 } \).

Решение:
воспользовавшись первым и шестым логарифмическими свойствами, имеем:
\(log_3⁡15-  log_3⁡5+3^{{log_3}⁡5 } \)\(= log_3  {15\over5}+5=log_3 3+5=1+5=6\).

Задача 3. Найти значение числа, записанного в форме логарифма \(9^{log_9⁡2} +log_5  {1\over25}\).

Решение:
\(9^{log_9⁡2} +log_5  {1\over25}\)=\(2+(-{1\over 2})=1,5.\)

 

Не нашли нужную информацию?

Закажите подходящий материал на нашем сервисе. Разместите задание – система его автоматически разошлет в течение 59 секунд. Выберите подходящего эксперта, и он избавит вас от хлопот с учёбой.

Гарантия низких цен

Все работы выполняются без посредников, поэтому цены вас приятно удивят.

Доработки и консультации включены в стоимость

В рамках задания они бесплатны и выполняются в оговоренные сроки.

Вернем деньги за невыполненное задание

Если эксперт не справился – гарантируем 100% возврат средств.

Тех.поддержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры работают в выходные и праздники, чтобы оперативно отвечать на ваши вопросы.

Тысячи проверенных экспертов

Мы отбираем только надёжных исполнителей – профессионалов в своей области. Все они имеют высшее образование с оценками в дипломе «хорошо» и «отлично».

1 000 +
Новых заказов каждый день
computer

Гарантия возврата денег

Эксперт получил деньги, а работу не выполнил?
Только не у нас!

guarantees

Безопасная сделка

Деньги хранятся на вашем балансе во время работы над заданием и гарантийного срока

guarantees_shield

Гарантия возврата денег

В случае, если что-то пойдет не так, мы гарантируем возврат полной уплаченой суммы

Отзывы студентов о нашей работе

315 972 оценки star star star star star
среднее 4.9 из 5
ИвГУ
Татьяна, Спасибо!!! Выполнена работа раньше срока!!!! Быстро!!! Чувствуется - ПРОФЕССИОНАЛ!!!!
star star star star star
СПБГЭУ
Татьяна,огромное спасибо!!!Работа выполнена на "отлично"!Рекомендую данного исполнителя.
star star star star star
Академия экономики и права
Татьяна, большая умница, выполнила работу быстро и качественно!!!! Всем Рекомендую)))))
star star star star star
Вы студент и хотите заказать работу, прямо сейчас без наценки и посредников?
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами


Сайт работает по московскому времени:

Вход или
регистрация
Регистрация или
Не нашли, что искали?

Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!

Файлы (при наличии)

    это быстро и бесплатно