Всё сдал! - помощь студентам онлайн Всё сдал! - помощь студентам онлайн

Учебные материалы
для студентов и школьников

Логарифмы и их свойства

1. Общие понятия
2. Свойства логарифмов
3. Понятие о модуле перехода от логарифма к логарифму
4. Задачи с применением логарифмических свойств

Общие понятия

Логарифм числа \(b∈R\) по основанию \(a (a>0,a≠1)\) – это такое число \(c\), в которое нужно возвести число a, чтобы получить число \(b\). Обозначается таким образом: \(log_a⁡b\).

В соответствии с определением напрашивается вывод, что для числа\( b≤0\) не существует действительного логарифма. Сформулируем теорему о действительном логарифме:

Теорема
Каждому действительному числу b>0 соответствует один единственный логарифм по основанию \(a (a>0,a≠1)\).
Логарифм числа \(b∈R\) с основанием \(a=10\) называют десятичным логарифмом. Обозначается \(log_10⁡b=lgb\)

Логарифм числа \(b∈R\) с основанием \(a=e\) называют натуральным логарифмом. Обозначается \(log_e⁡b=lnb\).

Свойства логарифмов

Рассмотрим свойства логарифмов, первые два из них вытекают из определения:

1. \(a^{log_a⁡b} =b\);

2. \(log_a⁡a^c=c\).

3. Логарифм произведения будет равняться сумме логарифмов множителей:
\(log_a⁡xy=log_a⁡x+log_a⁡y\).
Докажем это свойство: воспользовавшись первым свойством логарифма и свойством суммы степеней, получаем:
\(a^{log_a⁡xy} =xy; a^{log_a⁡x+log_a⁡y }=a^{log_a⁡x} ∙a^{og_a⁡y} =xy.\) Из этого следует, что:
\(a^{log_a⁡xy} =a^{log_a⁡x+log_a⁡y}, log_{a⁡xy}=log_{a⁡x+log_a⁡y}\).

4. \(log_a⁡b^c=c  log_a⁡b.\)
Докажем это свойство:
\(log_a⁡b^c= log_a⁡b∙b∙…∙b\), где \(b\) повторяется c раз, в соответствии с определением степени. А из третьего свойства мы получаем:
\(log_a⁡b^c=log_a⁡b+log_a⁡b+…+log_a⁡b \) (\(с\) раз) \(c log_a⁡b\)

5.\(log_a⁡{1\over b}=- log_a⁡b\).
Докажем это свойство:
\(log_a⁡{1\over b}=  log_a⁡b^{-1}\), используя четвертое свойство, получаем:
\(log_a⁡{1\over b}=  log_a⁡b^{-1}=\)\(-log_a⁡b\).

6. Логарифм частного двух чисел будет равняться разнице логарифмов этих чисел:
\(log_a⁡{x\over y}=log_a⁡x-log_a⁡y \).
Докажем это свойство: воспользовавшись третьим и пятым свойствами логарифмов, имеем:
\(log_a⁡{x\over y}=log_a⁡x+log_a⁡{1\over y}= log_a⁡x-log_a⁡y \).

banner

Не нашли что искали?

Просто напиши и мы поможем

7.Одним из свойств логарифма является его свойство перехода к другому основанию:
\(log_b⁡c={log_a⁡c\over log_a⁡b }\).
Докажем это свойство: воспользовавшись первым и вторым свойствами логарифмов, имеем:
\(log_a⁡c=log_a⁡b^{log_b⁡c}  =log_b⁡c∙log_a⁡b\);
\(log_b⁡c={log_a⁡c\over log_a⁡b}\) .
    
8. \(log_a⁡b={1\over log_b⁡a }\).
Докажем это свойство, воспользовавшись седьмым логарифмическим свойством:
\(log_a⁡b={log_b⁡b\over log_b⁡a} ={1\over log_b⁡a}\) .

9. \(log_a {^n} ⁡b={1\over n}  log_a⁡b \).
Докажем это свойство, воспользовавшись седьмым и вторым логарифмическими свойствами:
\(log_a{^n}⁡b={log_a⁡b\over log_a⁡a^n} ={1\over n}  log_a⁡b \).

Понятие о модуле перехода от логарифма к логарифму

Если рассмотреть формулу \(log_b⁡c={log_a⁡c\over log_a⁡b}\) , то в ней \(M={1\over log_a⁡b}\)  – это модуль перехода от логарифма с основанием a к логарифму с основанием b. Иным образом формула примет вид:

\(log_b⁡c=M log_a⁡c\).

Рассмотрим частные случаи этой формулы:

  1. В формуле \(lgx=Mlnx\), число \(M={1\over ln10}=lge≈0,(43)\) – это число, которое является модулем перехода от натурального к десятичному логарифму.
  2. В формуле \(lnx=Mlgx, M={1\over lge}=ln10≈2,3026\)… - это число, которое является модулем перехода от десятичного к натуральному логарифму.

Задачи с применением логарифмических свойств

Рассмотрим три примера решения логарифмических задач:

Задача 1. Найти значение числа, записанного в форме логарифма \(5∙0,6^{log_{0,6}⁡12}\) .

Решение:
оспользовавшись первым логарифмическим свойством, получим:
\(5∙0,6^{log_{0,6}⁡12}\)\( =5∙12=60\).

Сложно разобраться самому?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

banner

Задача 2. Найти значение числа, записанного в форме логарифма 
\(log_3⁡15-  log_3⁡5+3^{{log_3}⁡5 } \).

Решение:
воспользовавшись первым и шестым логарифмическими свойствами, имеем:
\(log_3⁡15-  log_3⁡5+3^{{log_3}⁡5 } \)\(= log_3  {15\over5}+5=log_3 3+5=1+5=6\).

Задача 3. Найти значение числа, записанного в форме логарифма \(9^{log_9⁡2} +log_5  {1\over25}\).

Решение:
\(9^{log_9⁡2} +log_5  {1\over25}\)=\(2+(-{1\over 2})=1,5.\)

 

Не нашли нужную информацию?

Закажите подходящий материал на нашем сервисе. Разместите задание – система его автоматически разошлет в течение 59 секунд. Выберите подходящего эксперта, и он избавит вас от хлопот с учёбой.

Гарантия низких цен

Все работы выполняются без посредников, поэтому цены вас приятно удивят.

Доработки и консультации включены в стоимость

В рамках задания они бесплатны и выполняются в оговоренные сроки.

Вернем деньги за невыполненное задание

Если эксперт не справился – гарантируем 100% возврат средств.

Тех.поддержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры работают в выходные и праздники, чтобы оперативно отвечать на ваши вопросы.

Тысячи проверенных экспертов

Мы отбираем только надёжных исполнителей – профессионалов в своей области. Все они имеют высшее образование с оценками в дипломе «хорошо» и «отлично».

1 000 +
Новых заказов каждый день
computer

Гарантия возврата денег

Эксперт получил деньги, а работу не выполнил?
Только не у нас!

guarantees

Безопасная сделка

Деньги хранятся на вашем балансе во время работы над заданием и гарантийного срока

guarantees_shield

Гарантия возврата денег

В случае, если что-то пойдет не так, мы гарантируем возврат полной уплаченой суммы

Отзывы студентов о нашей работе

412 631 оценка star star star star star
среднее 4.9 из 5
МГТУ ГА (иркутский фил.)
Работа выполнена в полном объеме и досрочно. Спасибо большое исполнителю. Он на деле подтв...
star star star star star
мисао гапс
огромное спасибо.работа выполнена качественно.Вы меня просто выручили.Огромное спасибо.рек...
star star star star star
Рязанский радиотехнический университет
Благодарю за качественную и оперативную работу! Всем рекомендую! Спасибо!
star star star star star
Вы студент и хотите заказать работу, прямо сейчас без наценки и посредников?
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами


Сайт работает по московскому времени:

Вход или
регистрация
Регистрация или
Не нашли, что искали?

Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!

Файлы (при наличии)

    это быстро и бесплатно