Логарифмы и их свойства

1. Общие понятия
2. Свойства логарифмов
3. Понятие о модуле перехода от логарифма к логарифму
4. Задачи с применением логарифмических свойств

Общие понятия

Логарифм числа \(b∈R\) по основанию \(a (a>0,a≠1)\) – это такое число \(c\), в которое нужно возвести число a, чтобы получить число \(b\). Обозначается таким образом: \(log_a⁡b\).

В соответствии с определением напрашивается вывод, что для числа\( b≤0\) не существует действительного логарифма. Сформулируем теорему о действительном логарифме:

Логарифм числа \(b∈R\) с основанием \(a=e\) называют натуральным логарифмом. Обозначается \(log_e⁡b=lnb\).

Свойства логарифмов

Рассмотрим свойства логарифмов, первые два из них вытекают из определения:

1. \(a^{log_a⁡b} =b\);

2. \(log_a⁡a^c=c\).

3. Логарифм произведения будет равняться сумме логарифмов множителей:
\(log_a⁡xy=log_a⁡x+log_a⁡y\).
Докажем это свойство: воспользовавшись первым свойством логарифма и свойством суммы степеней, получаем:
\(a^{log_a⁡xy} =xy; a^{log_a⁡x+log_a⁡y }=a^{log_a⁡x} ∙a^{og_a⁡y} =xy.\) Из этого следует, что:
\(a^{log_a⁡xy} =a^{log_a⁡x+log_a⁡y}, log_{a⁡xy}=log_{a⁡x+log_a⁡y}\).

4. \(log_a⁡b^c=c  log_a⁡b.\)
Докажем это свойство:
\(log_a⁡b^c= log_a⁡b∙b∙…∙b\), где \(b\) повторяется c раз, в соответствии с определением степени. А из третьего свойства мы получаем:
\(log_a⁡b^c=log_a⁡b+log_a⁡b+…+log_a⁡b \) (\(с\) раз) \(c log_a⁡b\)

5.\(log_a⁡{1\over b}=- log_a⁡b\).
Докажем это свойство:
\(log_a⁡{1\over b}=  log_a⁡b^{-1}\), используя четвертое свойство, получаем:
\(log_a⁡{1\over b}=  log_a⁡b^{-1}=\)\(-log_a⁡b\).

6. Логарифм частного двух чисел будет равняться разнице логарифмов этих чисел:
\(log_a⁡{x\over y}=log_a⁡x-log_a⁡y \).
Докажем это свойство: воспользовавшись третьим и пятым свойствами логарифмов, имеем:
\(log_a⁡{x\over y}=log_a⁡x+log_a⁡{1\over y}= log_a⁡x-log_a⁡y \).

Не нашли то, что искали?

Попробуйте обратиться за помощью к преподавателям

Тип работы Выберите тип работыКонтрольнаяРешение задачКурсоваяРефератОнлайн-помощьТест дистанционноДипломЛабораторнаяЧертежОтчет по практикеЭссеОтветы на билетыПрезентацияПеревод с ин. языкаДокладСтатьяСочинениеМагистерская диссертацияКандидатская диссертацияБизнес-планПодбор литературыШпаргалкаПоиск информацииРецензияДругое

Предмет

E-mail

Узнать стоимость

это быстро и бесплатно

7.Одним из свойств логарифма является его свойство перехода к другому основанию:
\(log_b⁡c={log_a⁡c\over log_a⁡b }\).
Докажем это свойство: воспользовавшись первым и вторым свойствами логарифмов, имеем:
\(log_a⁡c=log_a⁡b^{log_b⁡c}  =log_b⁡c∙log_a⁡b\);
\(log_b⁡c={log_a⁡c\over log_a⁡b}\) .
    
8. \(log_a⁡b={1\over log_b⁡a }\).
Докажем это свойство, воспользовавшись седьмым логарифмическим свойством:
\(log_a⁡b={log_b⁡b\over log_b⁡a} ={1\over log_b⁡a}\) .

9. \(log_a {^n} ⁡b={1\over n}  log_a⁡b \).
Докажем это свойство, воспользовавшись седьмым и вторым логарифмическими свойствами:
\(log_a{^n}⁡b={log_a⁡b\over log_a⁡a^n} ={1\over n}  log_a⁡b \).

Понятие о модуле перехода от логарифма к логарифму

Если рассмотреть формулу \(log_b⁡c={log_a⁡c\over log_a⁡b}\) , то в ней \(M={1\over log_a⁡b}\)  – это модуль перехода от логарифма с основанием a к логарифму с основанием b. Иным образом формула примет вид:

\(log_b⁡c=M log_a⁡c\).

Рассмотрим частные случаи этой формулы:

1. В формуле \(lgx=Mlnx\), число \(M={1\over ln10}=lge≈0,(43)\) – это число, которое является модулем перехода от натурального к десятичному логарифму.
2. В формуле \(lnx=Mlgx, M={1\over lge}=ln10≈2,3026\)… - это число, которое является модулем перехода от десятичного к натуральному логарифму.

Задачи с применением логарифмических свойств

Рассмотрим три примера решения логарифмических задач:

Задача 1. Найти значение числа, записанного в форме логарифма \(5∙0,6^{log_{0,6}⁡12}\) .

Решение:
оспользовавшись первым логарифмическим свойством, получим:
\(5∙0,6^{log_{0,6}⁡12}\)\( =5∙12=60\).

Сложно разобраться самому?

Попробуйте обратиться за помощью к преподавателям

Тип задания Выберите тип заданияКонтрольнаяРешение задачКурсоваяРефератОнлайн-помощьТест дистанционноДипломЛабораторнаяЧертежОтчет по практикеЭссеОтветы на билетыПрезентацияПеревод с ин. языкаДокладСтатьяСочинениеМагистерская диссертацияКандидатская диссертацияБизнес-планПодбор литературыШпаргалкаПоиск информацииРецензияДругое

Предмет

E-mail

Узнать стоимость

это быстро и бесплатно

Задача 2. Найти значение числа, записанного в форме логарифма 
\(log_3⁡15-  log_3⁡5+3^{{log_3}⁡5 } \).

Решение:
воспользовавшись первым и шестым логарифмическими свойствами, имеем:
\(log_3⁡15-  log_3⁡5+3^{{log_3}⁡5 } \)\(= log_3  {15\over5}+5=log_3 3+5=1+5=6\).

Задача 3. Найти значение числа, записанного в форме логарифма \(9^{log_9⁡2} +log_5  {1\over25}\).

Решение:
\(9^{log_9⁡2} +log_5  {1\over25}\)=\(2+(-{1\over 2})=1,5.\)