Метод Крамера

1. Общие понятия
2. Способы расчета определителей матриц
3. Использование метода Крамера

Общие понятия

Методом Крамера, или как его еще называют, правилом Крамера, является такой способ нахождения неизвестных для заданной системы уравнений. Такой метод используется лишь тогда, когда количество неизвестных равняется числу уравнений системы, иными словами, матрица, образованная из заданной системы уравнений, должна быть квадратной без нулевых строк и ее главный определитель не должен равняться нулю. Рассмотрим теорему Крамера:

При условии, что главный детерминант матрицы \(D\), состоящей их коэффициентов системы уравнений, не равняется нулю, эта система уравнений считается совместной, с существующим для нее единственным решением. Неизвестные этих систем линейных уравнений рассчитывают по формуле Крамера: \(x_i={D_i\over D}\).

Порядок определения неизвестных по методу Крамера включает такие действия:

1. Сперва рассчитывают главный детерминант матрицы \(D\). Если найденный детерминант равняется нулю, то для данной системы уравнений не существует решений или их существует бесконечное множество. В таком варианте рекомендуют воспользоваться методом Гаусса для определения базисного решения.
2. Если же главный детерминант не равняется нулю, то эту систему уравнений рассчитывают методом Крамера. Левый столбик главной матрицы заменяют на столбик свободных членов и рассчитывают детерминант \(D_1\).
3. Проделывают те же действия для всех следующих столбиков по порядку и определяют детерминанты \(D_1, D_2, …, D_n\), где \(n\) – число столбиков.
4. Теперь, имея все детерминанты, рассчитывают все переменные от \(x_1\) до \(x_n\).

Не нашли то, что искали?

Попробуйте обратиться за помощью к преподавателям

Тип работы Выберите тип работыКонтрольнаяРешение задачКурсоваяРефератОнлайн-помощьТест дистанционноДипломЛабораторнаяЧертежОтчет по практикеЭссеОтветы на билетыПрезентацияПеревод с ин. языкаДокладСтатьяСочинениеМагистерская диссертацияКандидатская диссертацияБизнес-планПодбор литературыШпаргалкаПоиск информацииРецензияДругое

Предмет

E-mail

Узнать стоимость

это быстро и бесплатно

Способы расчета определителей матриц

Для расчета определителей матриц, размером более 2х2, применяют различные способы, рассмотрим их подробнее:

1. Метод Гаусса, второе его название – метод понижения порядка определителя. При данном методе матрицу преобразуют к форме треугольника, после этого перемножают составляющие главной диагонали. Стоит отметить, что при применении этого метода запрещено множить или делить строки, или столбцы на числа, не вынося их как множители или делители.

При данном методе можно лишь плюсовать или минусовать строки, или столбцы друг с другом, перед этим перемножив минусуемую строку на нуль. Необходимо также помнить, что во время перестановки столбиков или строк местами, нужно изменять знак матрицы.

2. Правило треугольников или правило Саррюса, которые очень похожи между собой. Для применения правила Саррюса, вначале записывают матрицу, а потом справа от нее снова записывают ее первый и второй столбики.

Числа матрицы и этих столбиков соединяют диагоналями, числа, что лежат на главной и параллельных диагоналях, записывают с плюсом, а числа, что лежат на побочной и параллельных ей диагоналях – с минусом.

Правило треугольников заключается в том, что для расчета детерминанта произведения всех чисел, что соединены на рисунке красной линией слева, записывают с плюсом, а те, что соединены так же справа – с минусом.

Оба способа применимы для матриц величиной 3х3.

3. Для расчета систем линейных арифметических уравнений с четырьмя неизвестными, стоит отметить, что более применимым для расчета определителей является метод Гаусса, либо также применяют метод миноров.

Использование метода Крамера

Метод Крамера применяют для определения неизвестных в системах линейных арифметических уравнений.

Разберем применение метода Крамера для расчета системы уравнений с двумя неизвестными:

\( \begin{cases} a_1 x_1+a_2 x_2=b_1 \\ a_3 x_1+a_4 x_2=b_2 \end{cases}\)

Преобразуем ее в такую форму:

Рассчитаем главный определитель системы, его так же именуют детерминантом основной матрицы:

\(D= \begin{vmatrix} {a_1   a_2\\a_3   a_4 } \end{vmatrix} =a_1∙a_4-a_3∙a_2\)

Далее, если главный детерминант не равняется нулю, рассчитываем систему линейных уравнений методом Крамера. Для этого рассчитываем все детерминанты, заменяя поочередно столбики основной матрицы столбиками свободных членов:

\(D_1=\begin{vmatrix}{b_1   a_2\\b_2   a_4}\end{vmatrix}=b_1∙a_4-b_2∙a_2\)
\(D_2=\begin{vmatrix}{a_1   b_1\\a_3   b_2 }\end{vmatrix}=a_1∙b_2-a_3∙b_1\)

Затем по формуле Крамера рассчитаем все переменные:

\(x_1={D_1\over D} \\ x_2={D_2\over D}\)

Рассмотрим задачу с конкретными уравнениями. Рассчитаем данную систему уравнений методом Крамера:

\(\begin{cases}3x_1-2x_2+4x_3=21\\3x_1+4x_2+2x_3=9\\2x_1-x_2-x_3=10\end{cases}\)

Порядок решения:

Сложно разобраться самому?

Попробуйте обратиться за помощью к преподавателям

Тип задания Выберите тип заданияКонтрольнаяРешение задачКурсоваяРефератОнлайн-помощьТест дистанционноДипломЛабораторнаяЧертежОтчет по практикеЭссеОтветы на билетыПрезентацияПеревод с ин. языкаДокладСтатьяСочинениеМагистерская диссертацияКандидатская диссертацияБизнес-планПодбор литературыШпаргалкаПоиск информацииРецензияДругое

Предмет

E-mail

Узнать стоимость

это быстро и бесплатно

1. Определим главный детерминант по вышеизложенному принципу:

\(D=\begin{vmatrix}3&-2&4\\3&4&-2\\2& -1&1\end{vmatrix}=\) \(3∙4∙(-1)+2∙(-2)∙2+4∙3∙(-1)-4∙4∙2-3∙(-2)∙(-1)-(-1)∙2∙3=\)
\(=-12-8-12-32-6+6=-64.   \)

2. Далее рассчитаем остальные детерминанты:
\(D_1=\begin{vmatrix}21& -2&4\\9&4&-2\\10& -1&1\end{vmatrix}=\)\(21∙4∙(-1)+2∙(-2)∙10+4∙9∙(-1)-4∙4∙10-9∙(-2)∙(-1)-(-1)∙2∙21=\)
\(=-84-40-36-160-18+42=-296.\)

\(D_2=\begin{vmatrix}3&21&4\\3& 9& -2\\2&10&1\end{vmatrix}=\)\(=3∙9∙(-1)+2∙21∙2+4∙3∙10-4∙9∙2-3∙21∙(-1)-10∙2∙3=\)
\(=-27+120+84-72+63-60=108.\)
 

\(D_3=\begin{vmatrix}3 &-2&21\\3&4& 9\\2& -1&10\end{vmatrix} =\)\(=3∙4∙10+9∙(-2)∙2+21∙3∙(-1)-21∙4∙2-3∙(-2)∙10-(-1)∙9∙3=\)
\(120-63-36-198+60+27=-60. \)

3. Затем рассчитаем наши неизвестные, применяя формулы Крамера:

\(x_1={D_1\over D}={-296\over-64}=4,625\)
\(x_2={D_2\over D}={108\over-64}=-1,6875\)
\(x_2={D_3\over D}={-60\over-64}=0,9375\)