Всё сдал! - помощь студентам онлайн Всё сдал! - помощь студентам онлайн

Учебные материалы
для студентов и школьников

Метод Крамера

1. Общие понятия
2. Способы расчета определителей матриц
3. Использование метода Крамера

Общие понятия

Методом Крамера, или как его еще называют, правилом Крамера, является такой способ нахождения неизвестных для заданной системы уравнений. Такой метод используется лишь тогда, когда количество неизвестных равняется числу уравнений системы, иными словами, матрица, образованная из заданной системы уравнений, должна быть квадратной без нулевых строк и ее главный определитель не должен равняться нулю. Рассмотрим теорему Крамера:

При условии, что главный детерминант матрицы \(D\), состоящей их коэффициентов системы уравнений, не равняется нулю, эта система уравнений считается совместной, с существующим для нее единственным решением. Неизвестные этих систем линейных уравнений рассчитывают по формуле Крамера: \(x_i={D_i\over D}\).

Порядок определения неизвестных по методу Крамера включает такие действия:

  1. Сперва рассчитывают главный детерминант матрицы \(D\). Если найденный детерминант равняется нулю, то для данной системы уравнений не существует решений или их существует бесконечное множество. В таком варианте рекомендуют воспользоваться методом Гаусса для определения базисного решения.
  2. Если же главный детерминант не равняется нулю, то эту систему уравнений рассчитывают методом Крамера. Левый столбик главной матрицы заменяют на столбик свободных членов и рассчитывают детерминант \(D_1\).
  3. Проделывают те же действия для всех следующих столбиков по порядку и определяют детерминанты \(D_1, D_2, …, D_n\), где \(n\) – число столбиков.
  4. Теперь, имея все детерминанты, рассчитывают все переменные от \(x_1\) до \(x_n\).

banner

Не нашли что искали?

Просто напиши и мы поможем

Способы расчета определителей матриц

Для расчета определителей матриц, размером более 2х2, применяют различные способы, рассмотрим их подробнее:

1. Метод Гаусса, второе его название – метод понижения порядка определителя. При данном методе матрицу преобразуют к форме треугольника, после этого перемножают составляющие главной диагонали. Стоит отметить, что при применении этого метода запрещено множить или делить строки, или столбцы на числа, не вынося их как множители или делители.

При данном методе можно лишь плюсовать или минусовать строки, или столбцы друг с другом, перед этим перемножив минусуемую строку на нуль. Необходимо также помнить, что во время перестановки столбиков или строк местами, нужно изменять знак матрицы.

2. Правило треугольников или правило Саррюса, которые очень похожи между собой. Для применения правила Саррюса, вначале записывают матрицу, а потом справа от нее снова записывают ее первый и второй столбики.

Числа матрицы и этих столбиков соединяют диагоналями, числа, что лежат на главной и параллельных диагоналях, записывают с плюсом, а числа, что лежат на побочной и параллельных ей диагоналях – с минусом.

Правило треугольников заключается в том, что для расчета детерминанта произведения всех чисел, что соединены на рисунке красной линией слева, записывают с плюсом, а те, что соединены так же справа – с минусом.

Оба способа применимы для матриц величиной 3х3.

3. Для расчета систем линейных арифметических уравнений с четырьмя неизвестными, стоит отметить, что более применимым для расчета определителей является метод Гаусса, либо также применяют метод миноров.

Использование метода Крамера

Метод Крамера применяют для определения неизвестных в системах линейных арифметических уравнений.

Разберем применение метода Крамера для расчета системы уравнений с двумя неизвестными:

\( \begin{cases} a_1 x_1+a_2 x_2=b_1 \\ a_3 x_1+a_4 x_2=b_2 \end{cases}\)

Преобразуем ее в такую форму:

Рассчитаем главный определитель системы, его так же именуют детерминантом основной матрицы:

\(D= \begin{vmatrix} {a_1   a_2\\a_3   a_4 } \end{vmatrix} =a_1∙a_4-a_3∙a_2\)

Далее, если главный детерминант не равняется нулю, рассчитываем систему линейных уравнений методом Крамера. Для этого рассчитываем все детерминанты, заменяя поочередно столбики основной матрицы столбиками свободных членов:

\(D_1=\begin{vmatrix}{b_1   a_2\\b_2   a_4}\end{vmatrix}=b_1∙a_4-b_2∙a_2\)
\(D_2=\begin{vmatrix}{a_1   b_1\\a_3   b_2 }\end{vmatrix}=a_1∙b_2-a_3∙b_1\)

Затем по формуле Крамера рассчитаем все переменные:

\(x_1={D_1\over D} \\ x_2={D_2\over D}\)

Рассмотрим задачу с конкретными уравнениями. Рассчитаем данную систему уравнений методом Крамера:

\(\begin{cases}3x_1-2x_2+4x_3=21\\3x_1+4x_2+2x_3=9\\2x_1-x_2-x_3=10\end{cases}\)

Порядок решения:

Сложно разобраться самому?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

banner

1. Определим главный детерминант по вышеизложенному принципу:

\(D=\begin{vmatrix}3&-2&4\\3&4&-2\\2& -1&1\end{vmatrix}=\) \(3∙4∙(-1)+2∙(-2)∙2+4∙3∙(-1)-4∙4∙2-3∙(-2)∙(-1)-(-1)∙2∙3=\)
\(=-12-8-12-32-6+6=-64.   \)

2. Далее рассчитаем остальные детерминанты:
\(D_1=\begin{vmatrix}21& -2&4\\9&4&-2\\10& -1&1\end{vmatrix}=\)\(21∙4∙(-1)+2∙(-2)∙10+4∙9∙(-1)-4∙4∙10-9∙(-2)∙(-1)-(-1)∙2∙21=\)
\(=-84-40-36-160-18+42=-296.\)

\(D_2=\begin{vmatrix}3&21&4\\3& 9& -2\\2&10&1\end{vmatrix}=\)\(=3∙9∙(-1)+2∙21∙2+4∙3∙10-4∙9∙2-3∙21∙(-1)-10∙2∙3=\)
\(=-27+120+84-72+63-60=108.\)
 

\(D_3=\begin{vmatrix}3 &-2&21\\3&4& 9\\2& -1&10\end{vmatrix} =\)\(=3∙4∙10+9∙(-2)∙2+21∙3∙(-1)-21∙4∙2-3∙(-2)∙10-(-1)∙9∙3=\)
\(120-63-36-198+60+27=-60. \)

3. Затем рассчитаем наши неизвестные, применяя формулы Крамера:

\(x_1={D_1\over D}={-296\over-64}=4,625\)
\(x_2={D_2\over D}={108\over-64}=-1,6875\)
\(x_2={D_3\over D}={-60\over-64}=0,9375\)
 

Не нашли нужную информацию?

Закажите подходящий материал на нашем сервисе. Разместите задание – система его автоматически разошлет в течение 59 секунд. Выберите подходящего эксперта, и он избавит вас от хлопот с учёбой.

Гарантия низких цен

Все работы выполняются без посредников, поэтому цены вас приятно удивят.

Доработки и консультации включены в стоимость

В рамках задания они бесплатны и выполняются в оговоренные сроки.

Вернем деньги за невыполненное задание

Если эксперт не справился – гарантируем 100% возврат средств.

Тех.поддержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры работают в выходные и праздники, чтобы оперативно отвечать на ваши вопросы.

Тысячи проверенных экспертов

Мы отбираем только надёжных исполнителей – профессионалов в своей области. Все они имеют высшее образование с оценками в дипломе «хорошо» и «отлично».

1 000 +
Новых заказов каждый день
computer

Гарантия возврата денег

Эксперт получил деньги, а работу не выполнил?
Только не у нас!

guarantees

Безопасная сделка

Деньги хранятся на вашем балансе во время работы над заданием и гарантийного срока

guarantees_shield

Гарантия возврата денег

В случае, если что-то пойдет не так, мы гарантируем возврат полной уплаченой суммы

Отзывы студентов о нашей работе

311 861 оценка star star star star star
среднее 4.9 из 5
УрФУ
Спасибо за работу , всё в срок и без замечаний . Всем рекомендую данного исполнителя.
star star star star star
МИИТ
Спасибо большое Анне! Она меня спасла. Выполнила работу за одну ночь, ответственно подошла...
star star star star star
ИвГУ
Спасибо! Помогли с онлайн, решения переданы вовремя, аккуратно оформлено, Ждем проверки.
star star star star star
Вы студент и хотите заказать работу, прямо сейчас без наценки и посредников?
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами


Сайт работает по московскому времени:

Вход или
регистрация
Регистрация или
Не нашли, что искали?

Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!

Файлы (при наличии)

    это быстро и бесплатно