Всё сдал! - помощь студентам онлайн Всё сдал! - помощь студентам онлайн

Учебные материалы
для студентов и школьников

Метод трапеций

1. Общие понятия
2. Суть метода трапеций
3. Погрешность применения метода трапеций

Общие понятия

Методом трапеций является такой метод приближенного интегрирования, который применяют тогда, когда невозможно вычислить первообразную функции и определить с ее помощью интеграл.

Метод трапеций не является единственным методом приближенного интегрирования, на ряду с ним есть и другие, к примеру, метод средних прямоугольников и метод парабол.

Метод трапеций очень схож с методом средних прямоугольников, но считается не таким точным.

Суть метода трапеций

Допустим, необходимо рассчитать интеграл функции \(f(x)\) в интервале \([a;b]\).
Разделим график кривой функции на элементарные сегменты при помощи точек с абсциссами x_i, соединив точки \((x_i,y_i)\), получаем ломаную кривую, причем \(y_i=f(x_i)\), \(i \)может принимать значения от \(0\) до \(n-1\).

Выбираем число отрезков, на которые разобьём заданный интервал, и вычислим длину каждого такого отрезка по формуле:

\(∆x={b-a\over n}.\)

При расчетах методом трапеций соединяем одну с другой соседние точки разбивки, в итоге образовываются отдельные сегменты. Таким образом, значение функции f(x) берем на границах каждого отрезка.

Вычисляем площадь каждой элементарной трапеции по формуле:

\(S_i={b-a\over n}∙{y_{i-1}-y_i\over 2},\)

Приближенную площадь фигуры, которая ограничена линиями \(x=a,x=b\), осью \(0x\) и графиком кривой \(f(x)\), рассчитаем как сумму площадей всех элементарных сегментов по формуле:

\(∫_a^bf(x)dx≈{b-a\over n}∙({y_0-y_n\over2}+y_1+y_2+⋯+y_{n-1}).\)

Запишем общую формулу приближенного расчета интеграла методом трапеций:

\(∫_a^bf(x)dx≈{x_{i-1}-x_i\over2}∙(f(x_0 )+2∑_{i=1}^{n-1}f(x_i )+f(x_n ) )\)

Погрешность применения метода трапеций

Погрешность применения метода трапеций рассчитывается по формуле:

\(|δ_n |≤max_{x∈[a;b] }\) \(|f'' (x)|\)\(∙n∙{{{(x_i-x_{i-1})\over 2}^3}\over 12}\)\(=max_{x∈[a;b] }\) \(|f'' (x)|∙\)\({n∙(b-a)^3\over12n^2 }\).

Данный метод удобнее всего применять, когда сама функция \(f(x)\) не задана, но заданы значения, которые она принимает в точках разбивки. Если график задан, то вычисления проще и точнее проводить при помощи метода средних прямоугольников.

banner

Не нашли что искали?

Просто напиши и мы поможем

Если нет возможности рассчитать максимум функции, то вычислить погрешность будет сложно. При таких условиях делают следующие действия: вначале проводят численное интегрирование методом трапеций при \(n=10\), далее в этом же интервале проводят интегрирование при \(n=20\).

Рассчитывают разность найденных значений, если она меньше требуемой погрешности, то в ответ записывают значение интеграла при \(n=20\), на этом расчет считается оконченным. Если же найденная разность выше необходимой погрешности, расчеты продолжают, каждый раз удваивая число отрезков, пока не достигнут нужной точности.

Рассмотрим пример решения подобной задачи.
Задача 1. Вычислить интеграл \(∫_1^2{dx\over x}=ln⁡2 \) с точностью до 0,001 методом трапеций.
Порядок решения:
1) Разбиваем заданную функцию на 10 равных отрезков.
2) Оцениваем погрешность расчетов:

\(|δ_n |≤max_{x∈[1;2] }\) \(\begin{vmatrix} \left(\frac{x}{1}\right) \end{vmatrix}'' \)\(∙{n∙(2-1)^3\over 12∙10^2}=0.00008\),

то есть погрешность при \(n=10\) меньше заданной, это означает, что для расчета достаточно разбить отрезок на 10 сегментов.
3) Длина каждого сегмента будет равна:

\(∆x={2-1\over10}=0,1.\)

4)Рассчитываем значение функции для границ каждого отрезка:
\(x_0=1,0; y_0=1,0000;\\ x_1=1,1; y_1=0,9091;\\ x_2=1,2; y_2=0,8333;\\ x_3=1,3; y_3=0,7692;\\ x_4=1,4; y_4=0,7143;\\ x_5=1,5; y_5=0,6667;\\ x_6=1,6; y_6=0,6250;\\ x_7=1,7; y_7=0,5882;\\ x_8=1,8; y_8=0,5556;\\ x_9=1,9; y_9=0,5263;\\ x_10=2,0; y_10=0,5000.\)
  
5) Рассчитываем сумму найденных значений, она равна 6,1877.

Сложно разобраться самому?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

banner

6) Таким образом, значение интеграла будет равно:

\(∫_1^2{dx\over x}=0,1∙({1,5000\over2})+6,1877=0,69377.\)

Найденное значение интеграла соответствует необходимой точности.

Не нашли нужную информацию?

Закажите подходящий материал на нашем сервисе. Разместите задание – система его автоматически разошлет в течение 59 секунд. Выберите подходящего эксперта, и он избавит вас от хлопот с учёбой.

Гарантия низких цен

Все работы выполняются без посредников, поэтому цены вас приятно удивят.

Доработки и консультации включены в стоимость

В рамках задания они бесплатны и выполняются в оговоренные сроки.

Вернем деньги за невыполненное задание

Если эксперт не справился – гарантируем 100% возврат средств.

Тех.поддержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры работают в выходные и праздники, чтобы оперативно отвечать на ваши вопросы.

Тысячи проверенных экспертов

Мы отбираем только надёжных исполнителей – профессионалов в своей области. Все они имеют высшее образование с оценками в дипломе «хорошо» и «отлично».

1 000 +
Новых заказов каждый день
computer

Гарантия возврата денег

Эксперт получил деньги, а работу не выполнил?
Только не у нас!

guarantees

Безопасная сделка

Деньги хранятся на вашем балансе во время работы над заданием и гарантийного срока

guarantees_shield

Гарантия возврата денег

В случае, если что-то пойдет не так, мы гарантируем возврат полной уплаченой суммы

Отзывы студентов о нашей работе

315 972 оценки star star star star star
среднее 4.9 из 5
ВГТУ
Отлично справилась с заданием. Сделала раньше срока, а главное правильно. Всегда на связи....
star star star star star
МГТУ ГА (иркутский фил.)
Отношение к выполняемой работе на высшем уровне. Именно это и побуждает обращаться за подо...
star star star star star
юургу
Отличный исполнитель! Второй раз обращаюсь к Анастасии, и опять работа сделана на отлично ...
star star star star star
Вы студент и хотите заказать работу, прямо сейчас без наценки и посредников?
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами


Сайт работает по московскому времени:

Вход или
регистрация
Регистрация или
Не нашли, что искали?

Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!

Файлы (при наличии)

    это быстро и бесплатно