Взаимно обратные функции 📙 - Математика
Всё сдал! - помощь студентам онлайн Всё сдал! - помощь студентам онлайн

Учебные материалы
для студентов и школьников

Взаимно обратные функции

1. Общие понятия
2. Характеристики взаимно обратных функций
3. Поиск обратной функции
4. Задачи по определению обратной функции

Общие понятия

Предположим, что  множество \(X\) и множество \(Y\) принадлежат к множеству действительных чисел. Рассмотрим суть обратимой функции.

Обратимой называется такая функция \(f:X→Y\), которая отображает множество \(X\) в множестве \(Y\), в ней для любых составляющих \(x_1,x_2  ∈X\) при \(x_1≠x_2\), вытекает, что \(f(x_1)≠f(x_2)\).

Рассмотрим также, что такое обратная функция. Допустим функция \(f:X→Y\), что отображает множество \(X\) в множестве \(Y\) является обратимой. Значит функция \(f^(-1):X→Y\), что отображает множество \(X\) в множестве \(Y\) определяющаяся условием \(f^{-1} (y)=x\) будет обратной для \(f(x)\).

Разберем основную теорему: Пускай функция \(y=f(x)\) определена, монотонно возрастает или убывает и является непрерывной в определенном промежутке множества \(X\), то в соответственном промежутке множества \(Y\) значений данной функции у нее есть обратная функция, тоже монотонно возрастающая или убывающая и непрерывна в этом промежутке множества \(Y\).

Рассмотрим суть взаимно обратных функций. Функции \(f(x)\) и \(f^{(-1)} (y)\), рассмотренные выше, являются взаимно
обратными.

banner

Не нашли то, что искали?

Попробуйте обратиться за помощью к преподавателям

это быстро и бесплатно

Характеристики взаимно обратных функций

Пускай даны взаимно обратные функции \(y=f(x);x=g(y)\). Это значит, что для них справедливы следующие свойства:

  • \(y=f(g(y)); x=g(f(x))\);
  • если одна из функций убывающая (возрастающая), то и другая тоже будет убывающей (возрастающей);
  • графики функций \(y=f(x);x=g(y)\) будут симметричны относительно прямой \(y=x\);
  • промежуток определений функции \(y=f(x)\) равняется промежутку значений функции \(x=g(y)\), и наоборот, промежуток определений функции \(x=g(y)\) равняется промежутку значений функции \(y=f(x)\).

Поиск обратной функции

Разберем алгоритм поиска обратной функции:

  1. Решают уравнение \(y=f(x)\) для переменной \(x\).
  2. В результате решения получают корни и определяют их отношение к промежутку \(X\).
  3. Полученные x сопоставляют числу \(y\).

Разберем пример решения подобной задачи:

Дана функция \(y=x^2\). Определить обратную ей функцию в промежутке \(X=[-1,0]\).
Данная функция является убывающей и непрерывной в промежутке \(X\), это значит, что согласно теореме об обратных функциях, она тоже убывающая и непрерывная в промежутке \(Y=[0,1]\).
Рассчитаем значения \(x\):

\(y=x^2; x=±√y\).

Определяем подходящие значения \(x\):

\(x=-√y\).

Значит обратной будет функция \(y=-√x\).

Задачи по определению обратной функции

1) Определить функцию, обратную к заданной \(y=x^3\).
 

Решение: Поскольку функция непрерывна и возрастает во всем промежутке определения, то, согласно теореме, в этой области у нее есть обратная функция, тоже непрерывная и возрастающая. Решим задачу по алгоритму:

  1. Определим из уравнения \(х\)\( y=x^3; x=∛y\).
  2. Определяем нужные значения \(x\): в данном варианте подходят все значения, поскольку промежутком определения есть все существующие числа.
  3. Пересмотрев переменные получаем обратную функцию следующего вида: \(y=∛x\).

banner

Сложно разобраться самому?

Попробуйте обратиться за помощью к преподавателям

это быстро и бесплатно

2) Определить функцию, что обратна к заданной \(y=x+4\).

Решение: Поскольку функция непрерывная и возрастающая на всем промежутке определения, то, согласно теореме, в этой области у нее есть обратная функция, тоже непрерывная и возрастающая. Решим задачу по алгоритму:

  1. Определим из уравнения \(х\)\(y=x+4; x=y-4\).
  2. Определяем нужные значения x: в данном варианте подходят все значения, поскольку промежутком определения есть все существующие числа.
  3. Пересмотрев переменные получаем обратную функцию такого вида: \(y=x-4\).

3) Определить функцию, которая обратна к заданной \(y=tgx\) в промежутке \([-{π \over 2}, {π \over 2}]\).

Решение: В множестве \(X=[-{π \over 2}, {π \over 2}]\) функция \(y=tgx\) непрерывна и возрастает на множестве \(X\), она отображающая множество \(X=[-{π \over 2}, {π \over 2}]\) на множестве \(Y=R\), потому, согласно теореме об обратной функции, в этой области у функции \(y=cosx\) в множестве \(Y\) есть обратная функция, что тоже непрерывна и возрастает в множестве \(Y=R\), она отображающая множество \(R\) на множестве \([-{π \over 2}, {π \over 2}]\). Решим задачу по алгоритму:

  1. Определим из уравнения \(х\)\(y=tgx ; x=arctgy+πn,n∈Z\).
  2. Определяем нужные значения \(х\)\(x=arctgy\).
  3. Пересмотрев переменные получаем обратную функцию такого вида: \(y=arctgx\).

4) Определить функцию, которая обратна к заданной \(y=cosx\) в промежутке \([0,π]\).

Решение: В множестве \(X=[0,π]\) функция \(y=cosx\) непрерывна и убывает на множестве \(X\) и отображает множество\( X=[0,π]\) на множестве  \(Y=[-1,1]\), потому, согласно теореме об обратных функциях, в этой области у функции \(y=cosx\) в множестве \(Y\) есть обратная функция, тоже непрерывная и возрастающая в множестве \(Y=[-1,1]\) и отображающая множество \([-1,1]\) на множестве  \([0,π]\). Решим задачу по алгоритму:

  1. Определим из уравнения \(х\) : \(y=cosx ; x=±arccosy+2πn,n∈Z\).
  2. Определяем нужные значения \(х\) : \( x=arccosy\).
  3. Пересмотрев переменные получаем обратную функцию такого вида: \(y=arccosx\).

Не нашли нужную информацию?

Закажите подходящий материал на нашем сервисе. Разместите задание – система его автоматически разошлет в течение 59 секунд. Выберите подходящего эксперта, и он избавит вас от хлопот с учёбой.

Гарантия низких цен

Все работы выполняются без посредников, поэтому цены вас приятно удивят.

Доработки и консультации включены в стоимость

В рамках задания они бесплатны и выполняются в оговоренные сроки.

Вернем деньги за невыполненное задание

Если эксперт не справился – гарантируем 100% возврат средств.

Тех.поддержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры работают в выходные и праздники, чтобы оперативно отвечать на ваши вопросы.

Тысячи проверенных экспертов

Мы отбираем только надёжных исполнителей – профессионалов в своей области. Все они имеют высшее образование с оценками в дипломе «хорошо» и «отлично».

1 000 +
Новых заказов каждый день
computer

Гарантия возврата денег

Эксперт получил деньги, а работу не выполнил?
Только не у нас!

guarantees

Безопасная сделка

Деньги хранятся на вашем балансе во время работы над заданием и гарантийного срока

guarantees_shield

Гарантия возврата денег

В случае, если что-то пойдет не так, мы гарантируем возврат полной уплаченой суммы

Отзывы студентов о нашей работе
733 511 оценок star star star star star
среднее 4.9 из 5
Самгупс
Конечно текст был чисто из учебников, но приняли хотя бы и на этом хорошо, рада.
star star star star star
ДВГУПС
Рекомендую Наталью как честного, добросовестного исполнителя. ВКР выполнена досрочно. Все ...
star star star star star
Плеханова
Спасибо автору. Все выполнено раньше срока, работа зачтена на отлично! На просьбы что-то д...
star star star star star
Вы студент и хотите заказать работу, прямо сейчас без наценки и посредников?
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами

Используя «Всё сдал!», вы принимаете пользовательское соглашение
и политику обработки персональных данных
Сайт работает по московскому времени:

Вход
Регистрация или
Не нашли, что искали?

Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!

Файлы (при наличии)

    это быстро и бесплатно