Всё сдал! - помощь студентам онлайн Всё сдал! - помощь студентам онлайн

Учебные материалы
для студентов и школьников

Взаимно обратные функции

1. Общие понятия
2. Характеристики взаимно обратных функций
3. Поиск обратной функции
4. Задачи по определению обратной функции

Общие понятия

Предположим, что  множество \(X\) и множество \(Y\) принадлежат к множеству действительных чисел. Рассмотрим суть обратимой функции.

Обратимой называется такая функция \(f:X→Y\), которая отображает множество \(X\) в множестве \(Y\), в ней для любых составляющих \(x_1,x_2  ∈X\) при \(x_1≠x_2\), вытекает, что \(f(x_1)≠f(x_2)\).

Рассмотрим также, что такое обратная функция. Допустим функция \(f:X→Y\), что отображает множество \(X\) в множестве \(Y\) является обратимой. Значит функция \(f^(-1):X→Y\), что отображает множество \(X\) в множестве \(Y\) определяющаяся условием \(f^{-1} (y)=x\) будет обратной для \(f(x)\).

Разберем основную теорему: Пускай функция \(y=f(x)\) определена, монотонно возрастает или убывает и является непрерывной в определенном промежутке множества \(X\), то в соответственном промежутке множества \(Y\) значений данной функции у нее есть обратная функция, тоже монотонно возрастающая или убывающая и непрерывна в этом промежутке множества \(Y\).

Рассмотрим суть взаимно обратных функций. Функции \(f(x)\) и \(f^{(-1)} (y)\), рассмотренные выше, являются взаимно
обратными.

banner

Не нашли что искали?

Просто напиши и мы поможем

Характеристики взаимно обратных функций

Пускай даны взаимно обратные функции \(y=f(x);x=g(y)\). Это значит, что для них справедливы следующие свойства:

  • \(y=f(g(y)); x=g(f(x))\);
  • если одна из функций убывающая (возрастающая), то и другая тоже будет убывающей (возрастающей);
  • графики функций \(y=f(x);x=g(y)\) будут симметричны относительно прямой \(y=x\);
  • промежуток определений функции \(y=f(x)\) равняется промежутку значений функции \(x=g(y)\), и наоборот, промежуток определений функции \(x=g(y)\) равняется промежутку значений функции \(y=f(x)\).

Поиск обратной функции

Разберем алгоритм поиска обратной функции:

  1. Решают уравнение \(y=f(x)\) для переменной \(x\).
  2. В результате решения получают корни и определяют их отношение к промежутку \(X\).
  3. Полученные x сопоставляют числу \(y\).

Разберем пример решения подобной задачи:

Дана функция \(y=x^2\). Определить обратную ей функцию в промежутке \(X=[-1,0]\).
Данная функция является убывающей и непрерывной в промежутке \(X\), это значит, что согласно теореме об обратных функциях, она тоже убывающая и непрерывная в промежутке \(Y=[0,1]\).
Рассчитаем значения \(x\):

\(y=x^2; x=±√y\).

Определяем подходящие значения \(x\):

\(x=-√y\).

Значит обратной будет функция \(y=-√x\).

Задачи по определению обратной функции

1) Определить функцию, обратную к заданной \(y=x^3\).
 

Решение: Поскольку функция непрерывна и возрастает во всем промежутке определения, то, согласно теореме, в этой области у нее есть обратная функция, тоже непрерывная и возрастающая. Решим задачу по алгоритму:

  1. Определим из уравнения \(х\)\( y=x^3; x=∛y\).
  2. Определяем нужные значения \(x\): в данном варианте подходят все значения, поскольку промежутком определения есть все существующие числа.
  3. Пересмотрев переменные получаем обратную функцию следующего вида: \(y=∛x\).

Сложно разобраться самому?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

banner

2) Определить функцию, что обратна к заданной \(y=x+4\).

Решение: Поскольку функция непрерывная и возрастающая на всем промежутке определения, то, согласно теореме, в этой области у нее есть обратная функция, тоже непрерывная и возрастающая. Решим задачу по алгоритму:

  1. Определим из уравнения \(х\)\(y=x+4; x=y-4\).
  2. Определяем нужные значения x: в данном варианте подходят все значения, поскольку промежутком определения есть все существующие числа.
  3. Пересмотрев переменные получаем обратную функцию такого вида: \(y=x-4\).

3) Определить функцию, которая обратна к заданной \(y=tgx\) в промежутке \([-{π \over 2}, {π \over 2}]\).

Решение: В множестве \(X=[-{π \over 2}, {π \over 2}]\) функция \(y=tgx\) непрерывна и возрастает на множестве \(X\), она отображающая множество \(X=[-{π \over 2}, {π \over 2}]\) на множестве \(Y=R\), потому, согласно теореме об обратной функции, в этой области у функции \(y=cosx\) в множестве \(Y\) есть обратная функция, что тоже непрерывна и возрастает в множестве \(Y=R\), она отображающая множество \(R\) на множестве \([-{π \over 2}, {π \over 2}]\). Решим задачу по алгоритму:

  1. Определим из уравнения \(х\)\(y=tgx ; x=arctgy+πn,n∈Z\).
  2. Определяем нужные значения \(х\)\(x=arctgy\).
  3. Пересмотрев переменные получаем обратную функцию такого вида: \(y=arctgx\).

4) Определить функцию, которая обратна к заданной \(y=cosx\) в промежутке \([0,π]\).

Решение: В множестве \(X=[0,π]\) функция \(y=cosx\) непрерывна и убывает на множестве \(X\) и отображает множество\( X=[0,π]\) на множестве  \(Y=[-1,1]\), потому, согласно теореме об обратных функциях, в этой области у функции \(y=cosx\) в множестве \(Y\) есть обратная функция, тоже непрерывная и возрастающая в множестве \(Y=[-1,1]\) и отображающая множество \([-1,1]\) на множестве  \([0,π]\). Решим задачу по алгоритму:

  1. Определим из уравнения \(х\) : \(y=cosx ; x=±arccosy+2πn,n∈Z\).
  2. Определяем нужные значения \(х\) : \( x=arccosy\).
  3. Пересмотрев переменные получаем обратную функцию такого вида: \(y=arccosx\).

Не нашли нужную информацию?

Закажите подходящий материал на нашем сервисе. Разместите задание – система его автоматически разошлет в течение 59 секунд. Выберите подходящего эксперта, и он избавит вас от хлопот с учёбой.

Гарантия низких цен

Все работы выполняются без посредников, поэтому цены вас приятно удивят.

Доработки и консультации включены в стоимость

В рамках задания они бесплатны и выполняются в оговоренные сроки.

Вернем деньги за невыполненное задание

Если эксперт не справился – гарантируем 100% возврат средств.

Тех.поддержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры работают в выходные и праздники, чтобы оперативно отвечать на ваши вопросы.

Тысячи проверенных экспертов

Мы отбираем только надёжных исполнителей – профессионалов в своей области. Все они имеют высшее образование с оценками в дипломе «хорошо» и «отлично».

1 000 +
Новых заказов каждый день
computer

Гарантия возврата денег

Эксперт получил деньги, а работу не выполнил?
Только не у нас!

guarantees

Безопасная сделка

Деньги хранятся на вашем балансе во время работы над заданием и гарантийного срока

guarantees_shield

Гарантия возврата денег

В случае, если что-то пойдет не так, мы гарантируем возврат полной уплаченой суммы

Отзывы студентов о нашей работе

315 251 оценка star star star star star
среднее 4.9 из 5
МУ им. Витте
Раньше срока! Выполнено отлично! Исполнитель отвечает быстро, рекомендую Татьяну!
star star star star star
Российский Государственный Гуманитарный Университет
Раньше срока отправлена работа. Выполнены все требования. У преподавателя не возникло вопр...
star star star star star
Синергия
Ребята рекомендую ! Все очень оперативно и как всегда хорошо! Спасибо огромное!
star star star star star
Вы студент и хотите заказать работу, прямо сейчас без наценки и посредников?
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами


Сайт работает по московскому времени:

Вход или
регистрация
Регистрация или
Не нашли, что искали?

Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!

Файлы (при наличии)

    это быстро и бесплатно