Всё сдал! - помощь студентам онлайн Всё сдал! - помощь студентам онлайн

Учебные материалы
для студентов и школьников

Бесконечно малые величины и их свойства

1. Основные понятия о бесконечно малых величинах
2. Исчисление бесконечно малых величин

Основные понятия о бесконечно малых величинах

Суть бесконечно малых величин очень тесно переплетается с сутью пределов.

Бесконечно малые величины – это такие числовые функции либо последовательности, которые стремятся бесконечно к нулевому значению.

Рассмотрим бесконечно малые величины по графикам. На первом рисунке функция \(y=f(x)\) пересекается с осью \(0x\). На втором – прикасается к оси \(0x\) в точке \(x=a\).

    

Исчисление бесконечно малых величин

Исчисление бесконечно малой величины – это процесс вычисления, связанный с бесконечно малыми величинами, в результате него получают бесконечно непрерывные суммы бесконечно малых величин.

Бесконечно малой последовательностью есть такая последовательность \(a_n\), для которой справедливо выражение:

\(\lim\limits_{x \to \infty} \ a_n =0.\)

Данная последовательность бесконечно уменьшается, а соответственно, она представляет собой бесконечно малую величину.

banner

Не нашли что искали?

Просто напиши и мы поможем

Функция будет бесконечно малой величиной в бесконечном множестве в том случае, когда будет справедливо одно из равенств:

\(\lim\limits_{x \to \infty} f(x)=0; \lim\limits_{x \to \infty} ⁡f(x)=0.\)

Функция будет бесконечно малой величиной в около точки \(x_0\) в том случае, когда будет справедливо равенство:

\(\lim\limits_{x \to \infty}f(x)=0.\)

Бесконечно малая величина переменна, причем если x стремится к \(a\), она всегда меньше, чем число ε:

\(\lim\limits_{x \to \infty}f(x)=0.\)

Функция \(y=f(x)\)) будет бесконечно малой при \(x>+∞\), когда при любом значении \(ε>0\) существует число \(N\), при котором \(x>N\) справедливо условие:

\(f(x)={1\over x^a} . \)

Рассмотрим доказательство того, что функция \(y={1\over x^2} \)  будет бесконечно малой, при условии, что \(x>+∞\).
Для начала определимся, что пределом для функции при \(x>+∞\) будет \(b=0\), то есть для любого числа \(ε>0\) существует некое число \(N\), при котором \(x>N\) и выполняется условие:

\( |f(x)|=|{1\over x^2 }|={1\over x^2} . \)

Это неравенство выполняется только при \(x>{1\over\sqrt{ε}}=N \).

Соответственно по аналогии для функции \(y={1\over x^a}\)  , где \(a\) является некоторым положительным числом.

Таким образом, будет верным вывод, что функция будет бесконечно малой.

Бесконечно малой считается также функция, которая есть разницей между функцией и ее пределом, это выглядит следующим образом:

\(\lim\limits_{x \to \infty}f(x)=a, то f(x)-a=a(x),   \lim\limits_{x \to \infty}⁡(f(x)-a)=0.\)

Рассмотрим функцию \(y=2-{1\over x}\). Будет ли она бесконечно малой при \(x>+∞\).

\(\lim\limits_{x \to \infty}⁡ (2-{1\over x})=2-0=2≠0.\)

А это означает, что заданная функция\( y=2-{1\over x}\) при \(x>+∞\) не будет бесконечно малой.

Сложно разобраться самому?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

banner

Рассмотрим еще одно доказательство. Дана функция \(y=x^3\) и доказательство того, что она будет бесконечно малой при \(x>0\).

Допустим \(ε>0\). Неравенство \(|f(x)|=|x^3 |\). Соответственно \(N=-∛ε\) и \(M=∛ε\).
А это обозначает, что \(\lim\limits_{x \to \infty} x^3=0\), иными словами, заданная функция \(y=x^3\) будет бесконечно малой при \(x>0\).

Рассмотрим еще один пример с доказательством. Допустим дана функция \(y={1\over x}+{1\over√x}+{1\over x^2}\) . Будет ли она бесконечно малой при \(x>+∞\).

Каждое слагаемое по отдельности представляет собой бесконечно малую функцию при \(x>+∞\), потому в соответствии со свойством бесконечно малых функций, их сумма тоже будет бесконечно малой величиной.

Не нашли нужную информацию?

Закажите подходящий материал на нашем сервисе. Разместите задание – система его автоматически разошлет в течение 59 секунд. Выберите подходящего эксперта, и он избавит вас от хлопот с учёбой.

Гарантия низких цен

Все работы выполняются без посредников, поэтому цены вас приятно удивят.

Доработки и консультации включены в стоимость

В рамках задания они бесплатны и выполняются в оговоренные сроки.

Вернем деньги за невыполненное задание

Если эксперт не справился – гарантируем 100% возврат средств.

Тех.поддержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры работают в выходные и праздники, чтобы оперативно отвечать на ваши вопросы.

Тысячи проверенных экспертов

Мы отбираем только надёжных исполнителей – профессионалов в своей области. Все они имеют высшее образование с оценками в дипломе «хорошо» и «отлично».

1 000 +
Новых заказов каждый день
computer

Гарантия возврата денег

Эксперт получил деньги, а работу не выполнил?
Только не у нас!

guarantees

Безопасная сделка

Деньги хранятся на вашем балансе во время работы над заданием и гарантийного срока

guarantees_shield

Гарантия возврата денег

В случае, если что-то пойдет не так, мы гарантируем возврат полной уплаченой суммы

Отзывы студентов о нашей работе

311 861 оценка star star star star star
среднее 4.9 из 5
УрФУ
Спасибо за работу , всё в срок и без замечаний . Всем рекомендую данного исполнителя.
star star star star star
МИИТ
Спасибо большое Анне! Она меня спасла. Выполнила работу за одну ночь, ответственно подошла...
star star star star star
ИвГУ
Спасибо! Помогли с онлайн, решения переданы вовремя, аккуратно оформлено, Ждем проверки.
star star star star star
Вы студент и хотите заказать работу, прямо сейчас без наценки и посредников?
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами


Сайт работает по московскому времени:

Вход или
регистрация
Регистрация или
Не нашли, что искали?

Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!

Файлы (при наличии)

    это быстро и бесплатно