Всё сдал! - помощь студентам онлайн Всё сдал! - помощь студентам онлайн

Учебные материалы
для студентов и школьников

Расстояние от точки до прямой

1. Базовые понятия
2. Определения расстояния между точкой и прямой
3. Определение расстояния между точкой и прямой в плоскости
4. Определение расстояние от точки до прямой в пространстве

Базовые понятия

Расстоянием есть такая величина, которая характеризует отдаленность объектов друг от друга. Это определение применимо для плоскости и для пространства. Рассмотрим пример. Допустим у нас есть две точки, изображенные на рисунке:

Нужно узнать расстояние от одной точки до другой. Для этого можно воспользоваться каким-либо измерительным инструментом, к примеру, линейкой. Прикладываем ее началом к одной точке и соединяем с другой, на шкале мы увидим значение, которое и будет равно расстоянию между точками. 

Для определения можно применять также циркуль, при этом циркулем измеряют расстояние, его прикладывают к линейке или другому инструменту со шкалой расстояния, и получают значение.
Рассмотрим пример решения задачи по определению расстояния между точкой и прямой.

Определения расстояния между точкой и прямой

Если у нас есть прямая и точка, что не находится на ней, то согласно аксиомы геометрии мы знаем, что они образуют некую плоскость, именно поэтому мы можем решать эту задачу используя понятия планиметрии.

Теорема о создании единственной плоскости при помощи точки и прямой выводится из аксиомы о трех точках, описывающих плоскость. Ведь на прямой возможно выбрать две случайные точки, а третья у нас тоже есть.

Расстояние от точки до прямой – это перпендикулярный отрезок, соединяющий точку и прямую.

Разберем подробнее понятие о расстоянии между точкой и прямой на конкретном примере.

Определение расстояния между точкой и прямой в плоскости

Необходимо определить расстояние от точки \(X\) до прямой \(k\).

 

Изобразим перпендикулярный отрезок от точки \(X\) до прямой \(k\), получим точку \(A\). Выберем произвольно точку на прямой \(k\), назовем ее точкой \(B\). Соединив точки, мы получили треугольник \(XAB\).

Гипотенуза этого треугольника находится противоположно прямому углу, а она всегда будет самой длинной стороной треугольника, это означает, что самым кратким расстоянием между точкой \(X\) и прямой \(k\) будет перпендикулярный отрезок \(XA\).

Расстояние \(XB\) всегда будет больше, чем \(XA\), не зависимо от выбора расположения точки \(B\).

Распространенными задачами на эту тему как в плоскости, так и в пространстве, есть задачи на определение расстояния при известных координатах точки и уравнении прямой.

Практически не всегда удобно графически решать данные задачи, поэтому их решают аналитическим путем.

banner

Не нашли что искали?

Просто напиши и мы поможем

Разберем решение подобной задачи в плоскости.

Задано уравнение прямой \(a: y=3x+2\) и точка \(M\) с координатами (2;0). Необходимо определить расстояние от точки до прямой.

Рисуем перпендикуляр из точки \(M\) на прямую \(a\), получаем точку \(D\).

Чтобы найти координаты точки пересечения \(D\), необходимо для начала найти уравнение перпендикуляра. Для этого приведем уравнение прямой a к общему виду: \(3x-y+2=0\).

Имея запись в такой форме не сложно определить, что вектор нормали к этой прямой будет иметь координаты (3;-1). Этот же вектор есть направляющим для нашего перпендикуляра.

Также мы знаем, что наш перпендикуляр пересекается с прямой через точку \(M\) с координатами (2;0). Значит мы можем привести это уравнение к виду:

\({x-2\over3}={-y\over1}\)

Для нахождения координат точки пересечения \(D\), необходимо решить систему уравнений:

Выразив y из второго уравнения и подставив его в первое, получаем:

\({x-2 \over3}=-3x-2. \)

Решаем это уравнение:

\(x-2+9x+6=0;10x+4=0;10x=-4;x=-0.4.\)

Подставив найденное значение во второе уравнение, находим \(y\):

\(y=3*(-0,4)+2=0.8.\)

В итоге, мы определили координаты точки пересечения прямой и перпендикуляра. Они равны (-0.4;0.8).
Определим длину отрезка \(MD\):

\(MD=\sqrt{(-0,4)^2+0,8^2 )}=\sqrt{0,8}≈0,89. \)

Ответ: расстояние от точки \(M\) до прямой a равняется 0,89.

Определение расстояние от точки до прямой в пространстве

Для расчета расстояния между точкой и прямой в пространстве пользуются такой формулой:

где \(x_0, y_0, z_0\) – координаты заданной точки;
      \(x_1, y_1, z_1\) – координаты вектора нормали заданной прямой;
     \( l, m_1, n_1\) – координаты направляющего вектора прямой.

Эта формула аналогична уравнению для плоскости, но представляется сложнее. В расчетах нет ничего сложного, если владеть принципами решения матричных выражений.

Сложно разобраться самому?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

banner

Разберем решение задачи с применением этой формулы.

Например, прямая m задана уравнением: \({(x-5)\over1}={(y+1)\over2}={(z-4)\over4} \), точка имеет координаты \(K\)(1;2;3).

Необходимо определить расстояние в пространстве между точкой \(K\) и прямой \(m\).

Направляющий вектор прямой m имеет координаты (1;2;4), а вектор нормали (-5;-1;4).

Подставив все значения в формулу расчета, получим:

В ответе получаем, что расстояние в пространстве между точкой \(K\) и прямой \(m\) составляет 5,080.

Не нашли нужную информацию?

Закажите подходящий материал на нашем сервисе. Разместите задание – система его автоматически разошлет в течение 59 секунд. Выберите подходящего эксперта, и он избавит вас от хлопот с учёбой.

Гарантия низких цен

Все работы выполняются без посредников, поэтому цены вас приятно удивят.

Доработки и консультации включены в стоимость

В рамках задания они бесплатны и выполняются в оговоренные сроки.

Вернем деньги за невыполненное задание

Если эксперт не справился – гарантируем 100% возврат средств.

Тех.поддержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры работают в выходные и праздники, чтобы оперативно отвечать на ваши вопросы.

Тысячи проверенных экспертов

Мы отбираем только надёжных исполнителей – профессионалов в своей области. Все они имеют высшее образование с оценками в дипломе «хорошо» и «отлично».

1 000 +
Новых заказов каждый день
computer

Гарантия возврата денег

Эксперт получил деньги, а работу не выполнил?
Только не у нас!

guarantees

Безопасная сделка

Деньги хранятся на вашем балансе во время работы над заданием и гарантийного срока

guarantees_shield

Гарантия возврата денег

В случае, если что-то пойдет не так, мы гарантируем возврат полной уплаченой суммы

Отзывы студентов о нашей работе

312 331 оценка star star star star star
среднее 4.9 из 5
КГЭУ
Спасибо большое! Очень быстро и качественно! Все сделал за несколько часов. Рекомендую!))
star star star star star
Мирэ попова
Спасибо огромное работа выполнена на ура и в крайние сроки ,данный исполнитель готов входи...
star star star star star
УрГУПС
Спасибо Наталье, всё сделала вовремя, все замечания исправила, надеемся после 15 января, е...
star star star star star
Вы студент и хотите заказать работу, прямо сейчас без наценки и посредников?
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами


Сайт работает по московскому времени:

Вход или
регистрация
Регистрация или
Не нашли, что искали?

Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!

Файлы (при наличии)

    это быстро и бесплатно