Теорема Пифагора - 📙 Геометрия
Всё сдал! - помощь студентам онлайн Всё сдал! - помощь студентам онлайн

Учебные материалы
для студентов и школьников

Теорема Пифагора

1. Общие понятия
2. Теорема Пифагора
3. Теорема, обратная теореме Пифагора

Общие понятия

Прежде, чем перейти к формулировке самой теоремы Пифагора, рассмотрим общие понятия на эту тему.

Разберем прямоугольный треугольник \(ABC\) с катетами размером \(BC=a\), \(AC=b\) и гипотенузой \(AB=с\).

Рассмотрим также теоремы о площади квадрата и треугольника.

1. Площадь квадрата равняется квадрату размера ее стороны и рассчитывается по формуле:

\(S=a^2.\)

2. Площадь треугольника равняется половине произведения длины его стороны и высоты, опущенной к ней, и определяется по формуле:

\(S={1\over 2 ah}\)

Теорема Пифагора

Разберем формулировку теоремы Пифагора и ее доказательство.

Теорема: Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равняется квадрату его гипотенузы. Формула теоремы Пифагора выглядит следующим образом:

\(a^2+b^2=c^2\)

Доказательство: Допустим у нас имеется прямоугольный треугольник со сторонами \(a,b,c,\) как на рисунке выше. Достроим к нему квадрат со стороной \(a+b\).

Площадь построенного квадрата будет равняться сумме площадей четырех прямоугольных треугольников и квадрата со стороной \(c\). Используя теоремы о площадях фигур математически рассчитаем:

\(S=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\)

Площадь внутреннего квадрата будет равна:

\(S''=c^2\).

Площадь прямоугольного треугольника будет вычисляться по формуле:

\(S'={1\over2} ab\).

В итоге выражение для площади большого квадрата можно записать следующим образом:

\(S=S''+4S'\);
\(a^2+2ab+b^2=c^2+2 ab\);
\(a^2+b^2=c^2\).

Что и требовалось доказать.

Теорема, обратная теореме Пифагора

Теорема: Если для треугольника со сторонами \(a,b,c\) выполняется равенство \(a^2+b^2=c^2\), то он является прямоугольным с гипотенузой \(c\).

Доказательство: Допустим у нас имеется прямоугольный треугольник как на первом рисунке. Изобразим рядом прямоугольный треугольник \(A' B' C'\), прямой угол у которого \(C, A' C'=AC, B' C'=BC\).

Согласно теореме Пифагора, получаем:

\((A' B')^2=(A' C')^2+(B' C')^2\);
\((A' B')^2=a^2+b^2\).

А это значит, что \((A' B')^2=AB^2\), следовательно  \(A' B'= AB\).

В соответствии с третьим признаком равенства треугольников \(ΔABC=ΔA' B' C'\), значит угол \(C\) – прямой, а \(ΔABC\) – прямоугольный. Что и требовалось доказать.

banner

Сложно разобраться самому?

Попробуйте обратиться за помощью к преподавателям

это быстро и бесплатно

Решение задач на данную тему

Задача 1. Задан равнобедренный прямоугольный треугольник с боковой стороной, равной 8 см. Найти его основание.

Решение: Обозначаем основание треугольника буквой \(x\).

Так как у нас треугольник прямоугольный, мы можем использовать теорему Пифагора:

\(x^2=8^2+8^2=64+64=128; x=\sqrt{128}=8\sqrt2\).

Ответ: основание треугольника равно \(8\sqrt2\).

Задача 2. Из заданных вариантов треугольников найти прямоугольные. Стороны треугольников приведены:
а) 5,12,13;
б) 6,5,4;
в) 3,4,5.

Решение: Для определения принадлежности треугольников используем теорему, обратную теореме Пифагора. Подставляем по очереди заданные значения сторон в выражение \(a^2+b^2=c^2\) и определяем справедливость равенства.

а) \(13^2=12^2+5^2; 169=169\) – равенство выполняется, а это означает, что первый треугольник является прямоугольным.

б) \(6^2=4^2+5^2; 36=41\) – равенство не выполняется, это означает, что второй треугольник не прямоугольный.

в) \(5^2=4^2+3^2; 25=25\) – равенство выполняется, а это означает, что третий треугольник является прямоугольным.

banner

Не нашли то, что искали?

Попробуйте обратиться за помощью к преподавателям

это быстро и бесплатно

Стоит обратить внимание, что прямоугольные треугольники, у которых стороны равняются целым числам, именуют пифагоровые (как в варианте «а»), а со сторонами, у которых значения представлены поочередными натуральными числами – египетские (как в варианте «в»).

Не нашли нужную информацию?

Закажите подходящий материал на нашем сервисе. Разместите задание – система его автоматически разошлет в течение 59 секунд. Выберите подходящего эксперта, и он избавит вас от хлопот с учёбой.

Гарантия низких цен

Все работы выполняются без посредников, поэтому цены вас приятно удивят.

Доработки и консультации включены в стоимость

В рамках задания они бесплатны и выполняются в оговоренные сроки.

Вернем деньги за невыполненное задание

Если эксперт не справился – гарантируем 100% возврат средств.

Тех.поддержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры работают в выходные и праздники, чтобы оперативно отвечать на ваши вопросы.

Тысячи проверенных экспертов

Мы отбираем только надёжных исполнителей – профессионалов в своей области. Все они имеют высшее образование с оценками в дипломе «хорошо» и «отлично».

1 000 +
Новых заказов каждый день
computer

Гарантия возврата денег

Эксперт получил деньги, а работу не выполнил?
Только не у нас!

guarantees

Безопасная сделка

Деньги хранятся на вашем балансе во время работы над заданием и гарантийного срока

guarantees_shield

Гарантия возврата денег

В случае, если что-то пойдет не так, мы гарантируем возврат полной уплаченой суммы

Отзывы студентов о нашей работе
717 913 оценок star star star star star
среднее 4.9 из 5
ВУЗ
Обращаюсь не в первый раз, работой всегда доволен, всегда в зачет. Все выполнено профессио...
star star star star star
СПбГУТ им. Бонч-Бруевича
Благодаря Марии я стал на шажок ближе к зачету. Огромное спасибо! Всем рекомендую
star star star star star
СПбГУПТД
Берет сложные работы. Не первый раз обращаюсь. Всегда на связи. Если хотите качественную ...
star star star star star
Вы студент и хотите заказать работу, прямо сейчас без наценки и посредников?
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами

Используя «Всё сдал!», вы принимаете пользовательское соглашение
и политику обработки персональных данных
Сайт работает по московскому времени:

Вход
Регистрация или
Не нашли, что искали?

Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!

Файлы (при наличии)

    это быстро и бесплатно